Mô tả môn học bằng tiếng Anh

Content of the subject:

First of all, we recall some facts on binary operations. The main subject in Chapter 1 is Groups: elementary properties of groups; example of groups; permutation groups; subgroup; cyclic groups; Lagrange’s Theorem; normal subgroups and quotient groups; homomorphisms and isomorphisms of groups. Dirrect product of groups.

Chapter 2 is introduction to rings and fields: basic properties of rings and fields; subrings and subfields; ideal and quotient rings; homomorphisms and isomorphisms; field of quotient; direct sum of rings; maximal and prime ideal.

Some special class of rings are introduced in Chapter 3: Principal domains; Unique factorization domains; Euclidean domains.

Finnal chapter on finite group is presented in the lecture note. Student study this subject themselves under the help of lecturers.

[1]. Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB giáo dục, 1995.

[2]. Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học tập 2, NXB giáo dục, 1987.

[3]. Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXB giáo dục, 1999.

[4]. Bài tập tập Đại số cao cấp 1, Tổ Đại số – khoa Toán, 2008.

6. 
   Tài liệu tham khảo:
   

[2]. Saunders Mac Lane, Garrett Birkhoff, Algebra, American Mathematical Soc., 1999.

- Dự lớp  80 % tổng số thời lượng của học phần.

- Chuẩn bị thảo luận, chuyên đề.

- Hoàn thành các bài tập được giao.

- Hệ thống lại kiến thức cơ bản của mỗi chương và làm một số bài tập thêm ngoài giáo trình.

- Yêu cầu cần đạt: sinh viên hệ thống được các kiến thức cơ bản của từng chương (cố gắng xây dựng theo bản đồ tư duy), giải các bài tập thành thạo.

- Tên tiểu luận: Ứng dụng lý thuyết nhóm vào toán sơ cấp; Nhóm Abel hữu hạn sinh. Định lý Largrange và áp dụng. Trường các thương và mở rộng số.

- Điểm đánh giá bộ phận chấm theo thang điểm 10 với trọng số như sau:

• 
  Kiểm tra thường xuyên và kiểm tra định kỳ: 0,2
  
• 
  Chuyên cần: 0,1
  
• 
  Bài tập lớn, tiểu luận: 0,1 có thể thay thế điểm chuyên cần
  
• 
  Điểm thi kết thúc học phần: 0,7.
  
• 
  Hình thức thi: thi vấn đáp.
  

• 
  Điểm học phần: Là điểm trung bình chung có trọng số của các điểm đánh giá bộ phận và điểm thi kết thúc học phần làm tròn đến một chữ số thập phân.
  

2. 
   Mục tiêu của môn học:
   

Trang bị cho sinh viên kiến thức cơ bản về vành đa thức một biến, nghiệm của đa thức, sự phân rã của đa thức, Định lý Viet, phần tử đại số, phần tử siêu việt. Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về đa thức nhiều biến, sự sắp xếp của các từ trong đa thức nhiều biến, đa thức đối xứng, Định lý cơ bản của đa thức đối xứng và ứng dụng. Hai vấn đề cơ bản của đa thức trên trường số cũng được trang bị cho sinh viên trong môn học này là sự tồn tại nghiệm, tính nghiệm của đa thức và xét tính bất khả quy của đa thức. Một phần khá độc lập khác của một học là trang bị cho sinh viên hệ thống kiến thức mở đầu về môđun, giúp sinh viên hiểu được sự phát triển của toán học: từ không gian véc tơ đến môđun, một lần nữa khắc sâu các kiến thức về cấu trúc đại số.

- Hình thành được năng lực làm việc trên các cấu truc không gian trừu tượng thông qua việc nghiên cứu môđun, phân tử đại số, siêu việt, đa thức bất khả quy.

- Hình thành và phát triển năng lực năng lực vận dụng kiến thức toán học hiện đại vào thực tiễn toán học phổ thông thông qua công thức nghiệm Viet, đa thức đối xứng và sự phân tích đa thức đối xứng thông qua các đa thức đối xứng cơ bản, nghiệm của đa thức, đa thức bất khả quy ...

- Hình thành được kỹ năng phân tích, tổng hợp, khái quá hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa thông qua mở rộng trường dựa trên đa thức bất khả quy, các tiêu chuẩn bất khả quy của đa thức, phương trình đại số, ....

- Hình thành được năng lực dạy toán thông qua việc giải các bài toán sơ cấp về đa thức, đa thức bất khả quy, đa thức trên các trường số.

- Hình thành được năng lực vận dụng các kiến thức của lịch sử toán vao việc dạy toán thông qua lịch sử của các công thức nghiệm và Định lý cơ bản của Đại số.

- Phát triển năng lực sử dụng Ngoại ngữ trong công việc thông qua việc đọc tài liệu về đa thức và môđun.

2.3. Mục tiêu về thái độ:

Có thái độ học tập nghiêm túc, tích cực xây dựng bài, chủ động lĩnh hội tri thức.

Trang bị cho sinh viên các kiến thức cơ bản về đa thức và môđun:

Về đa thức: giới thiệu về vành đa thức một biến và nhiều biến; nghiệm của đa thức; phần tử đại số và phần tử siêu việt; sự phân rã của đa thức; Công thức Viet; đa thức đối xứng; đa thức trên trường số (Định lý Cơ bản của Đại số, công thức nghiệm cố điển của phương trình bậc ba và bậc bốn, phân loại các đa thức bất bất khả quy trên trường số phức, trường số thực và nghiên cứu tính bất khả quy của đa thức trên trường số hữu tỉ).

Về môđun: giới thiệu một số tính chất cơ bản về môđun, môđun con, môđun thương; phép toán cơ bản trên môđun con, hạt nhân và đối hạt nhân, tổng tích, đồng cấu môđun, dãy khớp môđun, dãy khớp Hom, môđun tự do, môđun nội xạ và môđun xạ ảnh.

This subject introduce some elementary on polynomial rings and modules:

Polynomial: Polynomial rings of one variable and polynomial ring of multiple variables; root of polynomial; algebraic and transcendental elements; splitting of polynomial; Vieta’s formular; symmetric polynomial; polynomial over fields (the Fundamental Theorem of Algebra; soluton of cubic and quartic equations (Cardano’s method for roots of cubic equations, Ferrari’s method for roots of quartic equations), irreducible polynomial over number fields).

Modules: some properties of modules; submodules, factor modules, operations on submodules; homomorphisms; kernel and cokernel; sum and product; homomorphism modules; exact sequenced of modules; exactness of Hom; free, projective modules and injective modules.

[1]. Hồng Xuân Sính, Đại số đại cương, NXB giáo dục 1995.

[2]. Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học tập 2, NXB giáo dục 1987.

[3]. Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, NXB giáo dục 1999.

[4]. Bài tập Đại số cao cấp 2, Tổ Đại số – khoa Toán, 2008.

[5]. Ngô thúc Lanh, Đại số và lý thuyết số, NXB Giáo dục 1985.

[6]. Ngô thúc Lanh, Đại số (Giáo trình sau đại học), NXB Giáo dục 1985.

[7]. D.G. Northcott, Lessons on rings, modules and multiplicities, Cambridge

University Press, 1968.

[8]. Bài tập Môđun, Tổ Đại số – khoa Toán, 2008.

7. Nhiệm vụ của sinh viên:

7.1. Phần lý thuyết, bài tập, thảo luận

- Dự lớp  80 % tổng số thời lượng của học phần.

- Chuẩn bị thảo luận, chuyên đề.

- Hoàn thành các bài tập được giao.

- Hệ thống lại kiến thức cơ bản của mỗi chương và làm một số bài tập thêm ngoài giáo trình.

- Yêu cầu cần đạt: sinh viên hệ thống được các kiến thức cơ bản của từng chương (cố gắng xây dựng theo bản đồ tư duy), giải các bài tập thành thạo.

- Tên tiểu luận: Ước chung lớn nhất của đa thức và ứng dụng; Nghiệm của đa thức; Phương trình đại số; Đa thức đối xứng và ứng dụng; Đa thức bất khả quy; Một số lớp môđun đặc biệt.

- Điểm đánh giá bộ phận chấm theo thang điểm 10 với trọng số như sau:

• 
  Kiểm tra thường xuyên và kiểm tra định kỳ: 0,2
  
• 
  Chuyên cần: 0,1
  
• 
  Bài tập lớn, tiểu luận: 0,1 có thể thay thế điểm chuyên cần
  
• 
  Điểm thi kết thúc học phần: 0,7.
  
• 
  Hình thức thi: thi viết.
  

• 
  Điểm học phần: Là điểm trung bình chung có trọng số của các điểm đánh giá bộ phận và điểm thi kết thúc học phần làm tròn đến một chữ số thập phân.
  

2. 
   Mục tiêu của môn học:
   

Trang bị cho sinh viên kiến thức cơ bản về số học: xây dựng hệ thống số từ khái niệm nguyên thủy của toán học là tập hợp. Giúp sinh viên thấy được ứng dụng của lý thuyết nhóm, vành và trường. Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về lý thuyết chia hết trên miền nguyên, phương trình và hệ phương trình nghiệm nguyên, các hàm số học cơ bản, lý thuyết đồng dư, liên phân số. Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản để giải quyết một số dạng toán điển hình về số học ở phổ thông.

- Hình thành được năng lực sử dụng kĩ thuật chứng minh toán học và phát triển các lập luận toán học thông qua các định lý, lược đồ và phương pháp chứng minh các định lý về xây dựng các cấu trúc số.

- Hình thành được năng lực năng lực vận dụng kiến thức toán học hiện đại vào thực tiễn toán học phổ thông thông qua các kiến thức của lý thuyết đồng dư và các hàm số số học.

- Hình thành được kỹ năng phân tích, tổng hợp, khái quá hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa thông qua các định lý về xây dựng vành các số nguyên, trường số hữu tỷ, trường số thực

- Hình thành được năng lực phát triển các lập luận toán học thông qua việc liên kết giữa các cấu trúc số.

- Hình thành được năng lực dạy toán thông qua việc giải các bài toán sơ cấp bằng các phương pháp khác nhau

- Hình thành được năng lực vận dụng các kiến thức của lịch sử toán vao việc dạy toán thông qua lịch sử của các vấn đề trong số luận.

- Phát triển năng lực sử dụng Ngoại ngữ trong công việc thông qua việc đọc tài liệu về Đại số giao hoán và Hình học đại số.

- Phát triển năng lực ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học Toán học và giáo dục học sinh thông qua một số thuật toán trong số học, thông qua lý thuyết mật mã.

2.3. Mục tiêu về thái độ:

Có thái độ học tập nghiêm túc, tích cực xây dựng bài, chủ động lĩnh hội tri thức.

Nội dung môn học bao gồm : các kiến thức trên vành số nguyên : chia hết, chia có dư, ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất và số nguyên tố; lý thuyết đồng dư : đồng dư thức, vành các lớp đồng dư, hệ thặng dư đầy đủ và hệ thặng dư thu gọn, phương trình đồng dư bậc nhất và bậc cao, hệ phương trình đồng dư và các hàm số học quan trọng.

Content of the subject: Arithemetics on integer numbers(divisibility, division with redundant, Greatest common divisor, Least common multiple, Prime numbers); congruence theory(congruence relation, congruence rings, complete congruence relation systems, reduce congruence relation systems, congruence equation of one degree and of higher degree, system of congruence equations); some important arithmetic functions.

[1]. Lại Đức Thịnh, Số học, NXB Giáo dục, 1976.

[2]. Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học tập I, NXB Giáo dục, 1977.

[3]. Hà Huy Khoái, Nhập môn số học thuật Toán, NXB khoa học, 1997.

[4]. Bài tập Đại số và số học, Tổ Đại số – khoa Toán, 2008.

- Dự lớp  80 % tổng số thời lượng của học phần.

- Chuẩn bị thảo luận, chuyên đề.

- Hoàn thành các bài tập được giao.

- Hệ thống lại kiến thức cơ bản của mỗi chương và làm một số bài tập thêm ngoài giáo trình.

- Yêu cầu cần đạt: sinh viên hệ thống được các kiến thức cơ bản của từng chương (cố gắng xây dựng theo bản đồ tư duy), giải các bài tập thành thạo.

- Tên tiểu luận: Thuật toán chia mở rộng và bài toán nghiệm nguyên; Hàm số học và ứng dụng; Phương trình đồng dư và ứng dụng; Phương trình đồng dư bậc cao; Một số dạng toán thi học sinh giỏi ở phổ thông; Lịch sử số học.

- Điểm đánh giá bộ phận chấm theo thang điểm 10 với trọng số như sau:

• 
  Kiểm tra thường xuyên và kiểm tra định kỳ: 0,2
  
• 
  Chuyên cần: 0,1
  
• 
  Bài tập lớn, tiểu luận: 0,1 có thể thay thế điểm chuyên cần
  
• 
  Điểm thi kết thúc học phần: 0,7.
  
• 
  Hình thức thi: thi viết.
  

• 
  Điểm học phần: Là điểm trung bình chung có trọng số của các điểm đánh giá bộ phận và điểm thi kết thúc học phần làm tròn đến một chữ số thập phân.
  

2. 
   Mục tiêu của môn học:
   

Trang bị cho sinh viên kiến thức cơ bản về lý thuyết mở rộng trường, lý thuyết Galois. Giúp học sinh hiểu và giải quyết một số vấn đề cơ bản về bài toán dựng hình bằng thước kẻ và compa (bài toán chia ba một góc, bài toán cầu phương hình tròn, bài toán chia đường tròn thành các phần bằn nhau-dựng đa giác đều), lý thuyết giải phương trình đại số (tại sao có thể giải phương trình bậc 1,2,3,4 bằng căn thức, tại sao không giải được phương trình tổng quát bậc lơn hơn 4 bằng căn thức).

- Hình thành được năng lực năng lực vận dụng kiến thức toán học hiện đại vào thực tiễn toán học phổ thông thông qua việc nghiên cứu, giải các phương trình bậc cao, dựng hình bằng thước kẻ và com pa

- Hình thành được kỹ năng phân tích, tổng hợp, khái quá hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa thông qua các định lý về mở rộng trường và định lý cơ bản của lý thuyết galoa.

- Hình thành được năng lực dạy toán thông qua việc giải các bài toán sơ cấp bằng các phương pháp khác nhau

- Hình thành được năng lực vận dụng các kiến thức của lịch sử toán vao việc dạy toán thông qua lịch sử các định lý của Galoa và Aben

- Hình thành được năng lực làm việc trên các cấu truc không gjan trừu tượng thông qua các định lý về mở rộng trường.

Có thái độ học tập nghiêm túc, tích cực xây dựng bài, chủ động lĩnh hội tri thức.

Bổ sung vành đa thức, mở rộng trường, đa thức tối tiểu của phần tử đại số, mở rộng trường đơn và bậc của nó, trường đóng đại số, trường phân rã; nhóm các tự đẳng cấu của trường; mở rộng tách được, mở rộng chuẩn tắc và mở rộng Galoa; Định lý cơ bản của lý thuyết Galoa; nhóm Galoa của một đa thức; tính giải được của phương trình; dựng hình bằng thước kẻ và compa(mô tả các quy tắc dựng hình bằng thước kẻ và compass, trường các số dựng được đóng khi bổ sung phần tử là căn bậc hai của số thực dương, đặc trưng số thực dựng được qua tháp các căn bậc hai, bậc của số thực dựng được là lũy thừa của 2, không thể cầu phương hình tròn, chia ba một góc và gấp đôi hình lập phương bằng thước kẻ và compass).

Content of the subject: Review of polynomial rings; extension fields, the minimal polynomial of an algebraic element, simple field extensions and their degree, algebraically closed fields; splitting fields; Group of automorphisms of fields; separable, normal, and Galois extensions; the fundamental theorem of Galois theory; the Galois group of a polynomial; solvability of equations; Constructions with straight-edge and compass(describle standard ruler and compass constructions, the field of constructibe numbers is closed under taking square roots of positive reals, characterization of constructible real numbers via square root towers of fields, the degree of a constructible real number is a power of 2, impossibility of squaring the circle, trisection of angles and duplication of cubles by ruler and compass).

[1]. Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học tập 3, NXB Giáo dục, 1977.

[2]. Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lý thuyết trường và lý thuyết Galoa, NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2002.

6. Tài liệu tham khảo:

[3]. Ponicov, Lý thuyết Galoa, NXB Matxcova, 1963.

[4]. Bài tập Lý thuyết trường, Tổ Đại số – khoa Toán, 2008.

7. Nhiệm vụ của sinh viên:

7.1. Phần lý thuyết, bài tập, thảo luận

- Dự lớp  80 % tổng số thời lượng của học phần.

- Chuẩn bị thảo luận, chuyên đề.

- Hoàn thành các bài tập được giao.

- Hệ thống lại kiến thức cơ bản của mỗi chương và làm một số bài tập thêm ngoài giáo trình.

- Yêu cầu cần đạt: sinh viên hệ thống được các kiến thức cơ bản của từng chương (cố gắng xây dựng theo bản đồ tư duy), giải các bài tập thành thạo.

- Tên tiểu luận: Mở rộng trường và ứng dụng; Bài toán dựng hình bằng thước và compa; Tính giải được của phương trình đa thức.

- Điểm đánh giá bộ phận chấm theo thang điểm 10 với trọng số như sau:

• 
  Kiểm tra thường xuyên và kiểm tra định kỳ: 0,2
  
• 
  Chuyên cần: 0,1
  
• 
  Bài tập lớn, tiểu luận: 0,1 có thể thay thế điểm chuyên cần
  
• 
  Điểm thi kết thúc học phần: 0,7.
  
• 
  Hình thức thi: thi viết.
  

• 
  Điểm học phần: Là điểm trung bình chung có trọng số của các điểm đánh giá bộ phận và điểm thi kết thúc học phần làm tròn đến một chữ số thập phân.
  

Introduction to Commutative Algebra

2. 
   Mục tiêu của môn học:
   

Trang bị cho sinh viên kiến thức cơ bản về các phép toán trên iđêan, môđun. Trang bị cho sinh viên một số Định lý nền tảng của Đại số giao hoán: định lý thặng dư, định lý tránh nguyên tố, bổ đề Nakayama,...làm nền tảng cho những nghiên cứu sâu hơn trong Đại số giao hoán. Trang bị cho sinh viên những kiến thức cơ bản về địa phương hóa của vành và môđun, giúp học sinh có sự liên tưởng đến việc xây dựng số hữu tỉ, trường các thương từ đó phần nào giúp sinh viên có cái nhìn tổng quan về sự phát triển về một vấn đề của toán học, hình thành cho sinh viên khả năng đặt vấn đề trong nghiên cứu. Phần tự đọc về phân tích nguyên sơ cũng là sự phát triển của một vấn đề cơ bản trong số học: phân tích một số thành tích của các thừa số nguyên tố.

- Hình thành được năng lực làm việc trên các cấu truc không gian trừu tượng thông qua việc nghiên cứu môđun, địa phương hóa của vành và môđun.

- Hình thành được kỹ năng phân tích, tổng hợp, khái quá hóa, trừu tượng hóa và cụ thể hóa thông qua việc nghiên cứu địa phương hóa (liên hệ với trường các thương, xây dựng trường số hữu tỉ, ...), môđun Noether và môđun Artin (liên hệ với điều kiện dừng các ước thực sự, ..)

- Phát triển năng lực sử dụng Ngoại ngữ trong công việc thông qua việc đọc tài liệu về Đại số giao hoán và Hình học đại số.

- Hình thành năng lực nghiên cứu khoa học thông qua việc nghiên cứu một số cấu trúc trên vành giao hoán.

2.3. Mục tiêu về thái độ:

Có thái độ học tập nghiêm túc, tích cực xây dựng bài, chủ động lĩnh hội tri thức.

Đại số giao hoán chủ yếu nghiên cứu các vành giao hoán. Môn học này trình bày môt số kết quả cơ sở về đại số giao hoán: Trong Chương 1, chúng tôi nhắc nhanh lại định nghĩa và một số tính chất cơ bản của vành. Sau đó chúng ta sẽ nghiên cứu về iđêan nguyên tố và iđêan tối đại. Một khái niệm trung tâm của Đại số giao hoán là iđêan nguyên tố. Khái niệm này là sự mở rộng của số nguyên tố trong số học và điểm trong hình học. Một số phép toán trên iđêan được giới thiệu (giao, tổng, tích, chia, linh hóa tử, căn). Phần còn lại của chương dành để trình bày một số tính chất cở bản của môđun (phép toán môđun, Bổ đề Nakayama). Tích Tenxơ và liên hệ tích Tenxơ với dãy khớp cũng được trình bày trong mục này. Địa phương hóa của vành và môđun là công cụ quan trọng nhất của Đại số giao hoán. Chương 2 trình bày định nghĩa và những tính chất cơ bản của địa phương hóa.

Chương 3 trình bày về phân tích nguyên sơ là chủ đề cho sinh viên tự nghiên cứu ở nhà. Phân tích một iđêan thành các iđêan nguyên sơ là nội dung trụ cột của lý thuyết iđêan. Nó là cơ sở để phân tích một đa tạp thành các đa tạp bất khả quy. Phân tích nguyên sơ cũng là sự mở rộng phân tích các số nguyên thành tích lũy thừa của các số nguyên tố.

4. Mô tả môn học bằng tiếng Anh:

Commutative algebra is essentially the study of commutative rings. This course presents some basic result on commutative algebra: In Chappter 1, we shall begin by reviewing rapidly the definition and elementary properties of rings. After this review we pass on to a discussion of prime and maximal ideals. The central notion in commutative algebra is that of a prime ideals. This provide a common generalization of the primes of arithmetic and the points of geometry. Some operations which can be performed on ideals is introduced (intersection, sum, product, ideal quotient, annihilator, radical). The remainder of the chapter is devoted to recall the definition and elementary of modules (operation on modules, Nakayama’s lemma). We also give a brief treatment of tensor products including a discussion of how they behave for exact sequences. The formation of rings of fractions and the associated process of localization are perhaps the most important technical tools in commutative algebra. They correspond in the algebro-geometric picture to concentrating attention on an open set or near a point, and the importance of these notion should be self-evident. Chapter 2 gives the the definitions and simple properties of the formation of fractions.

Chapter 3 on primary decompostion is a topic for student to study at home. The decomposition of an ideal into primary ideals is a traditional pillar of ideal theory. It provides the algebraic foundation for decomposing an algebraic variety into its irreducible components. From an other point of view primary decomposition provides a generalization of the factorization of an integer as a product of prime-powers.