THÔng tin về luận văn thạc sĩ

3. Ngày sinh: 27/05/1986 4. Nơi sinh: Thái Nguyên

5. Các thay đổi trong quá trình đào tạo: Không

6. Tên đề tài luận văn: Về tính lồi đa thức của một số tập hợp trong Cⁿ

7. Chuyên ngành: Toán giải tích 8. Mã số: 60 46 01

9. Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Ninh Văn Thu

Khoa Toán-Cơ-Tin học-Đại học Khoa học Tự nhiên-Đại học Quốc gia Hà Nội

10. Tóm tắt các kết quả của luận văn:

Các tập lồi đa thức có vai trò quan trọng trong lý thuyết hàm nhiều biến phức, đặc biệt là lý thuyết xấp xỉ. Nếu K là một tập lồi đa thức trong Cⁿ thì một hàm chỉnh hình trong một lân cận của một tập K compact có thể xấp xỉ đều trên K bởi các đa thức.

Một tập compact X trong Cⁿ được gọi là lồi đa thức nếu mỗi điểm \ X tồn tại đa thức P sao cho .Trong luận văn tập trung xét đến điều kiện để hợp hai n-phẳng là tập lồi đa thức:

Nếu A là ma trận thực n x n sao cho A+iI khả nghịch thì mọi tập con compact của RⁿUM(A) là lồi đa thức khi và chỉ khi A không có giá trị riêng thuần ảo có môđun lớn hơn 1. Nếu tất cả các tập con compact của RⁿUM(A) là lồi đa thức thì mọi tập con compact X của RⁿUM(A) đều có P(X)=C(X).

Để chứng minh định lý này cần đến bổ đề Kallin: Cho X₁ và X₂ là các tập con lồi đa thức của Cⁿ và p là đa thức sao cho các tập con lồi đa thức Y_j=, j=1,2 của C giao nhau nhiều nhất tại điểm gốc là điểm biên của mỗi tập. Nếu tập là lồi đa thức thì là tập lồi đa thức. Nếu thêm điều kiện P(X₁ )= C(X₁ ) và P(X₂ )= C(X₂ ) thì P()=C(X).

Từ định lý ta có hệ quả: Nếu || A||< 1 thì mọi tập con compact X của RⁿUM(A) là lồi đa thức và P(X)=C(X).

Khi A có giá trị riêng dạng ti, t>1, k là số giá trị riêng của A (kể cả bội) có dạng ti, t>1. Khi đó tồn tại họ k-tham số các mặt bậc hai phức n-k chiều mà mỗi mặt bậc hai đó đều chứa bao lồi đa thức của một tập con compact của RⁿUM(A).

Nếu k=1, nghĩa là chỉ có một giá trị riêng có dạng ti, t>1, và đây là nghiệm đơn thì ta có các kết quả sau:

Trước hết ta nhắc tới một số khái niệm:

Tập con compact E của Cⁿ được gọi là vành chỉnh hình trong Cⁿ nếu E là ảnh của vành qua ánh xạ 1-1, liên tục F sao cho F chỉnh hình trong phần trong của .

Nếu là các vành chỉnh hình trong và thì gọi là đa vành chỉnh hình trong Cⁿ.

Biên của đa vành chỉnh hình là , trong đó .

Hàm liên tục g trên S được gọi là thác triển chỉnh hình vào đa vành nếu chỉnh hình trên , với F=(F₁,…, F_m).

Cho A là ma trận thực n x n mà đa thức đặc trưng có dạng trong đó t>1 và q là đa thức bậc n-2 không có nghiệm dạng ti, . Khi đó tồn tại họ một tham số vành trong Cⁿ có biên nằm trong RⁿUM(A) sao cho mỗi hàm liên tục trên RⁿUM(A) là giới hạn đều của các đa thức trên các tập con compact của RⁿUM(A) nếu và chỉ nếu hàm đó có thể mở rộng chỉnh hình tới mỗi vành.

Giả sử n=2k. Trong trường hợp này dạng chuẩn Jordan thực của ma trận A có các khối (B₁,… B_k) với và t_j>1. Ta có 2^k không gian con thuần túy thực của Cⁿ có dạng , trong đó E_j hoặc là R² hoặc là M(B_j). Ký hiệu X là hợp của 2^k không gian con này. Khi đó tồn tại họ k-tham số các đa vành chỉnh hình trong Cⁿ có biên nằm trong X, có tính chất: hàm f liên tục là giới hạn đều của các đa thức trên các tập con compact của X khi và chỉ khi f thác triển tới một hàm chỉnh hinh trên mỗi đa vành.

Cuối cùng luận văn đưa ra ví dụ về một cặp đa tạp thuần túy thực của C² giao nhau chỉ tại điểm 0, có hợp là tập lồi đa thức nhưng hợp của các không gian tiếp xúc tại 0 có tập con compact không lồi đa thức.

11. Những hướng nghiên cứu tiếp theo: Nghiên cứu về tính lồi đa thức của hợp của phẳng và hình cầu.

Hoàng Phương Khánh

3. Date of birth: 27^th May, 1986 4.Place of birth:Thai Nguyen

5. Changes in academic process: No

6. Official thesis title: On the Polynomial Convexity of some sets on Cⁿ.

7. Major: Analysis 8. Code:60 46 01

9. Supervisors: Dr. Ninh Van Thu

10. Summary of the finding of the thesis:

Polynomially convex sets play an important role in the theory of functions of several complex variable, especially in questions concerning approximation. If K is a polynomially convex set in Cⁿ, if f is holomorphic on a neighborhood of K then f can be approximated uniformly on K by polynomials.

A compact subset K in Cⁿ is said to be polynomially convex if for every point

\ X, there is a polynomial P such that . In thesis, we give necessary and sufficient condition for unions of two n-planes is polynomially convex

If A is a real matrix n x n, such that (A+iI) is invertible, then every compact subsets of RⁿUM(A) is polynomially convex if and only if A has no purely imaginary eigenvalue of modulus greater than one. If all compact subsets of RⁿUM(A) are polynomially convex then for every compact subsets X of RⁿUM(A), P(X)=C(X).

To proof this theorem, we used Kallin’s lema: Let X₁ and X₂ be compact, polynomially convex subsets of Cⁿ. Let p be a polynomial such that the polynomially convex subsets Y_j=, j=1,2, of C meet at most at the origin, which is a boundary point for each of them. If the set is polynomially convex, then the set is polynomially convex. If, in addition, P(X₁ )= C(X₁ ) and P(X₂ )= C(X₂ ) then P()=C().

We have corollary: If ||A||<1, then compact subsets X of RⁿUM(A) are polynomially convex and satisfy P(X)=C(X).

When A does have eigenvalues of form ti, t> 1. Let k be the number of eigenvalues for A (counted with multiplicity) of the form ti, t> 1. Then there is a k-parameter family of complex (n-k)-dimensional quadratic surfaces in Cⁿ which contains the polynomially convex hull of each compact subset of RⁿUM(A).

If k=1,i.e. the only eigenvalue ti, with t> 1 has multiplicity one, we have theorem:

We first introduce some convenient terminology:

By an analytic annulus in Cⁿ we mean a compact subset E of Cⁿ which is the image of a one-to-one, continuous mapping F of an annulus such that F is analytic in the interior of .

If , are analytic annuli in , and , then will be referred to as an analytic polyannulus in Cⁿ.

. The dintinguished boundary S of the analytic polyannulus in Cⁿ.is the product where .

A continous function g on S extends analytically to the polyannulus if is analytic on , where F=(F₁,…, F_m).

Let A be an n x n matrix with real entries whose characteristic polynomial has the form where t>1 and q is a polynomial of degree n-2 which has no root of the form ti, . Then there is one- parameter family of analytic annuli in Cⁿ whose boundaries lie in RⁿUM(A) with the property that a continuous function f on RⁿUM(A) is the uniform limit of polynomials on compact subsets of RⁿUM(A) of a sequence of polynomial if and only if it extends analytically to each annulus.

Suppose that n=2k. In this case the real Jordan normal form of A is the block diagonal form (B₁,… B_k) where and t_j>1. We can form 2^k totally real subspaces of Cⁿ of the form where each E_j is either R² hoặc là M(B_j). Let X denote the union of these 2^k subspaces. Then there is a k-parameter family of analytic polyannuli in Cⁿ whose distinguished boundaries lie in X with the property that a continuous function f í the uniform limit of polynomials on compact subsets of X if and only if f extends to an analytic function on each polyannulus.

Finally we give an example of a pair of totally real submanifolds of C² intersecting only at 0 whose union is polynomilly convex even though the union of their tangent spaces at 0 has compact subsets which are not polynomially convex.