Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

tải về 42.4 Kb.

Chuyển đổi dữ liệu	01.10.2016
Kích	42.4 Kb.
	#32536

së GD-§T qu¶ng b×nh §Ò chän häc sinh giái líp 12 THPT

N¨m häc : 2006 - 2007

®Ò chÝnh thøc M«n : To¸n (Vßng II)

Thêi gian lµm bµi : 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)

Bµi 1 (2,5 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ABC. Chøng minh r»ng nÕu

theo thø tù ®ã lËp thµnh mét cÊp sè céng th× cosA, cosB, cosC theo thø tù ®ã còng lËp thµnh mét cÊp sè céng.
Bµi 2 (2,5 ®iÓm) : Cho ®a thøc f(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx + d ; trong ®ã a, b, c, d lµ c¸c h»ng sè thùc. BiÕt r»ng f(1) = 10 ; f(2) = 20 ; f(3) = 30 .

H·y tÝnh gi¸ trÞ:

Bµi 3 (2,5 ®iÓm) : Cho c¸c sè thùc a, b, c

vµ a + b + c = 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = a² + b² + c².

Bµi 4 (2,5 ®iÓm) : Cho tam gi¸c ®Òu ABC néi tiÕp trong ®êng trßn t©m O. Gäi P lµ mét ®iÓm bÊt kú n»m trªn cung nhá BC (cung kh«ng chøa ®iÓm A).

Chøng minh r»ng: PA = PB + PC .

HÕt

së GD-§T qu¶ng b×nh ®¸p ¸n, híng dÉn chÊm
§Ò chän häc sinh giái líp 12 THPT N¨m häc : 2006 - 2007

M«n : To¸n (Vßng II)

* §¸p ¸n chØ tr×nh bµy mét lêi gi¶i cho mçi bµi. ThÝ sinh gi¶i c¸ch kh¸c ®¸p ¸n nhng ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a tuú theo biÓu ®iÓm cña tõng bµi. Trong bµi lµm cña thÝ sinh, yªu cÇu ph¶i tr×nh bµy ®Çy ®ñ, lËp luËn chÆt chÏ, l« gÝc.

* NÕu thÝ sinh gi¶i sai bíc tríc th× cho ®iÓm 0 ®èi víi c¸c bíc gi¶i sau cã liªn quan trong lêi gi¶i cña tõng bµi.

* §iÓm thµnh phÇn cña mçi bµi nãi chung ph©n chia ®Õn 0,25 ®iÓm, nh÷ng ®iÓm thµnh phÇn lµ 0,5 ®iÓm th× tuú tæ gi¸m kh¶o thèng nhÊt ®Ó chiÕt thµnh tõng 0,25 ®iÓm.

* §èi víi bµi 4, nÕu kh«ng cã h×nh vÏ hoÆc vÏ h×nh sai nghiªm träng th× cho ®iÓm 0 ®èi víi bµi 4.

* §iÓm tæng (kh«ng lµm trßn sè) cña ®iÓm tÊt c¶ c¸c bµi lµ kÕt qu¶ cña thÝ sinh.

Bµi	§¸p ¸n	§iÓm
Bµi 1 (2,5®)	Ta cã: tg, tg, tg theo thø tù ®ã lËp thµnh cÊp sè céng khi vµ chØ khi: (®. p. c. m)	0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25
Bµi 2 (2,5®)	§Æt g(x) = f(x) - 10x. Khi ®ã: g(1) = g(2) = g(3) = 0 . Suy ra: ®a thøc g(x) cã ba nghiÖm 1, 2 vµ 3. Do g(x) lµ ®a thøc bËc 4 vµ cã hÖ sè cña x⁴ b»ng 1 nªn: g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) ; m R. Suy ra: f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - m) + 10x ; m R. VËy: = 2006.	0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
3 (2,5®)	Theo gi¶ thiÕt, ta cã : a² - a - 2 0 (1) b² - b - 2 0 (2) c² - c - 2 0 (3) Céng vÕ theo vÕ cña (1) , (2), (3) ta cã: a² + b² + c² - (a + b + c) - 6 0  a² + b² + c² 6 (*) ThÊy ngay a = 2 ; b = c = - 1 th× dÊu ®¼ng thøc x¶y ra. KÕt luËn: Gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P lµ 6.	0,5 0,25 0,25 0,5 0,75 0,25
Bµi 4 (2,5®)	NhËn xÐt: Khi P B th× PA = BA, PB = 0, PC = BC . Do ®ã: PA = PB + PC = a (®é dµi c¹nh tam gi¸c ABC). Hoµn toµn t¬ng tù, bµi to¸n ®îc chøng minh khi P C XÐt trêng hîp ®iÓm P kh«ng trïng víi ®iÓm B vµ ®iÓm P còng kh«ngtrïng víi ®iÓm C: Trªn ®o¹n th¼ng PA lÊy ®iÓm Q sao cho : ACQ = BC Khi ®ã: QCP = QCB + BCP = QCB + QCA = ACB = 60⁰ (1). MÆt kh¸c: QPC = ABC = 60⁰ (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AC) (2). Trong tam gi¸c PQC, ta cã: PQC = 180⁰ - (QCP + QPC) = 60⁰ (3) Tõ (1), (2), (3) suy ra tam gi¸c PQC lµ tam gi¸c ®Òu. Suy ra: QC = PC ; PQ = PC (4). XÐt tam gi¸c AQC vµ tam gi¸c BPC. Ta cã: AC = BC ; QC = PC vµ ACQ = BCP Do ®ã: AQC = BPC Suy ra: QA = PB (5) Tõ (4) vµ (5) , ta cã PA = PQ + QA = PC + PB (®. p. c. m) H×nh vÏ: 0,25 ®	0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25

tải về 42.4 Kb.

Chia sẻ với bạn bè của bạn: