SỞ giáo dục và ĐÀo tạo hưng yên trưỜng thpt nguyễn siêU

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN

TRƯỜNG THPT NGUYỄN SIÊU

Chức vụ: Phó hiệu trưởng

Lĩnh vực: Toán học

Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Siêu

Từ khi xuất hiện xác suất đã khẳng định đó là một môn mới và có tính hấp dẫn cao được áp dụng phổ biến trong cuộc sống. Xác suất được ứng dụng rộng rãi trong nhiều nghành khoa học khác nhau như Toán học, Vật lý, Khoa học và kỹ thuật, y học, công nghệ thông tin và các nghành kinh tế. Trong trường phổ thông thì đòi hỏi học sinh phải biết giải bài toán xác suất và áp dụng được vào các môn học đặc biệt là môn sinh học, vật lý ...

Đối với học sinh phổ thông chương trình sách giáo khoa đã đưa xác suất vào dạy ở lớp 11 nên việc làm quen, áp dụng và giải các bài toán về xác suất là học sinh rất bỡ ngỡ và thấy khó. Việc giải bài toán xác suất liên quan đến đại số tổ hợp và những bài toán liên quan đến công thức xác suất là học sinh chưa phân biệt được và hay bị nhầm lẫn.

Trong những năm gần đây các bài toán xác suất là một trong các chủ đề có mặt trong các kỳ thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng do Bộ Giáo dục và Đào tạo quy định ( đây là một trong các nội dung ở câu số 7 của đề thi ), chính vì thế nên tôi đã chú trọng vào việc dạy kỹ lý thuyết cho học sinh và phân dạng các loại toán xác suất từ dễ đến khó và có hệ thống móc nối giữa các kiến thức cũ và mới để học sinh có hứng thú học, say mê tìm hiểu và giải quyết được các dạng bài tập trong chương trình phổ thông.

Xuất phát từ những bài toán trên thực tế đã hình thành nên môn xác suất chính vì thế khi bắt đầu dạy lý thuyết cho học sinh tôi cũng dùng các ví dụ cụ thể và cho học sinh tự làm ví dụ và ghi kết quả sau đó hình thành định nghĩa và liên hệ với kiến thức trong tập hợp và trong đại số tổ hợp để dần dần hình thành công thức tính xác suất đơn giản.

Để có thể học tốt xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán và tình huống cụ thể. Trên thực tế học sinh khó hiểu được các khái niệm và các định nghĩa, trong khi sách tham khảo về nội dung này cũng không có nhiều, khai thác kỹ hơn thì học sinh lại phải đọc thêm nhiều lý thuyết ngoài sách giáo khoa. Trên thực tế đó đòi hỏi giáo viên phải có những phương pháp dạy hợp lý và phát huy tính sáng tạo của học sinh.

Với mong muốn giúp học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài:

“ Nâng cao năng lực của học sinh THPT để giải bài toán xác suất ”.

2. Thực trạng của vấn đề.

Xác suất là khái niệm mới và khó nên học sinh lười nghiên cứu, tuy ứng dụng thực tế của nó rất lớn nhưng học sinh học trong thời gian ngắn nên việc áp dụng thành thạo các bài tập cơ bản đối với nhiều học sinh chưa được tốt. Trong quá trình dạy phụ đạo và ôn luyện thi đại học tôi luôn quan tâm đến vấn đề này dạy cho học sinh hiểu bài không chỉ dạy lý thuyết mà phải có áp dụng đi cùng.

Qua thực tiễn giảng dạy tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc độc lập. Đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc để giải quyết các tình huống cụ thể.

Khi chọn đề tài này đã phần nào giúp học sinh tháo gỡ việc nhận thức học xác suất và có công cụ giải quyết được một số dạng bài tập mà từ trước đến nay học sinh cho là khó và đã áp dụng được vào các môn học liên quan.

- Hưởng ứng phong trào tự học, tự sáng tạo, nâng cao chuyên môn, học hỏi đồng nghiệp qua đợt viết sáng kiến kinh nghiệm và nghiên cứu khoa học mà nhà trường và sở phát động.

- Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo, các tài liệu liên quan khác, khai thác trên mạng …

- Phương pháp quan sát: Quan sát quá trình dạy và học tại trường PTTH Nguyễn Siêu.

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức dạy cho học sinh khối 11 và một số lớp 12 ôn thi đại học sau đó khảo sát các lớp dạy.

Một phép thử ngẫu nhiên (ký hiệu T) là một thí nghiệm hay một hành động mà có thể lặp đi lặp lại nhiều lần trong các điều kiện giống nhau, kết quả của nó không dự đoán trước được và có thể xác định được tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra.

Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử, ký hiệu Ω.

b. Xác suất các biến cố:

Định nghĩa : Giả sử phép toán thử T có không gian mẫu Ω là một tập hợp hữu hạn và kết quả của T là đồng khả năng. Nếu A là một biến cố liên quan với phép thử T và Ω_A là tập hợp các kết quả mô tả A thì xác suất của A là một số ký hiệu là P(A), được xác định bởi công thức:

trong đó và lần lượt là số phần tử của tập Ω_A và Ω

- Biến cố chắc chắn (luôn xảy ra khi thực hiện các phép thử T) có xác suất bằng 1.

- Biến cố không thể (không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T) có xác xuất bằng 0.

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Nếu “biến cố A hoặc biến cố B xảy ra”, kí hiệu là được gọi là hợp của hai biến A và B. Nếu kí hiệu Ω_A và Ω_B lần lượt là tập hợp mô tả A và B thì tập hợp mô tả biến cố và Ω_A Ω_B.

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A₁, A₂, …, A_k cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ có ít nhất một trong các biến cố A₁, A₂, …, A_k xảy ra, ký hiệu là , được gọi là hợp của k biến cố đó.

b. Biến cố xung khắc

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là xung khắc nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra. Hai biến cố xung khắc nếu và chỉ nếu.

Ω_A Ω_B =

c. Quy tắc cộng xác suất

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A₁, A₂, …, A_k đôi một xung khắc thì ta có:

Cho biến cố A thì biến cố “ Không xảy ra A”, ký hiệu là được gọi là biến cố đối của A.

Cho biến cố A xác suất của biến cố đối là: (3)

2.2. Quy tắc nhân xác suất

a. Biến cố giao

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ Cả A và B cùng xảy ra”, ký hiệu là A.B, được gọi là giao của hai biến cố A và B.

Nếu Ω_A và Ω_B lần lượt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho AB là Ω_A Ω_B .

Một cách tổng quát: Cho k biến cố A₁, A₂, …, A_k cùng liên quan đến phép thử T. Biến cố “ tất cả k biến cố A₁, A₂, …, A_k xảy ra “, ký hiệu là , được gọi là giao của k biến cố đó.

Cho hai biến cố A và B cùng liên quan đến phép thử T. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố kia.

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì xác suất để A hoặc B xảy ra là:

Một cách tổng quát : Cho k biến cố A₁, A₂, …, A_k độc lập thì ta có:

1. 
   A và B có phải là hai biến cố xung khắc hay không?
   
2. 
   Biến cố là gì?
   

a. A và B là hai biến cố không xung khắc vì một học sinh có thể vừa học giỏi Toán vừa học giỏi Văn.

1. 
   Hai biến cố A và B độc lập hay không ?
   
2. 
   Giao của hai biến cố A và B là biến cố gì ?
   

1. 
   Hai biến cố A và B độc lập vì việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố B
   
2. 
   Giao của hai biến cố A và B là biến cố” lần gieo thứ nhất được số chẵn và lần thứ hai được số lẻ”
   

.

1. 
   Xung khắc hay không?
   
2. 
   Độc lập với nhau hay không?
   

1. 
   Vì nên A và B không xung khắc.
   
2. 
   Vì
   

a. b. c. d.

Chứng minh rằng:

Ta có A = { 2, 4, 6 } , B = { 3, 6 }. Do đó và AB = {6}

Nên

Mà

Vậy: . (ĐPCM)

Như vậy : Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì công thức sau còn đúng không?

Ta có vì sự xảy ra của A là kết quả của sự xảy ra :của A và B hoặc là sự xảy ra của A và không xảy ra của B

Mà và là hai biến cố xung khắc.

Vậy:

Vì A và B là hai biến cố xung khắc nên

Ta có: và

Bài 4: Một công nhân phải theo dõi hoạt động của hai máy dệt A và B. Xác xuất để người công nhân phải can thiệp máy dệt A trong một giờ là và máy dệt B trong cùng thời gian trên là . Tính xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ.

Hướng dẫn

Xác suất để máy dệt A hỏng độc lập với xác suất để máy dệt B hỏng

Ta có P() = 1- P(A) = 1- = với là biến cố máy dệt A không hỏng

và P() = 1- = với là biến cố máy dệt B không hỏng.

Vậy xác suất để người công nhân không phải can thiệp máy nào trong một giờ là P()= ==0,69

Bài 5: Trong một nhà máy có 3 máy dệt. Trong một ngày, xác suất để máy thứ nhất bị sự cố là 0,05, xác suất để máy thứ hai bị sự cố là 0,1 và xác suất để máy thứ ba bị sự cố là 0,15. Tính xác suất để trong một ngày mà :

a. Chỉ có một máy bị sự cố

b. Chỉ có hai máy bị sự cố

c. Không có máy nào bị sự cố

a. Xác suất để một và chỉ một máy bị sự cố là:

P₁= 0,05 + 0,10 + 0,15 – 2(0,050,10+0,050,15 + 0,100,15) +

+3(0,050,100,15) = 0,25

b. Xác suất để chỉ có hai máy bị sự cố là:

P₂ = 0,050,10+0,050,15 + 0,100,15 - 3(0,050,100,15) = 0,025

c. Xác suất để không có máy nào bị sự cố là:

P₃ = 0,950,900,85 = 0,727