PHẦn I : LỜi nóI ĐẦu lý do chọn đề tài



tải về 178.55 Kb.
trang2/3
Chuyển đổi dữ liệu07.07.2016
Kích178.55 Kb.
1   2   3

Bài toán 10.

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác

suất của các biến cố sau:


  1. Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một

chấm”

  1. Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là

một số nhỏ hơn 11”

Phân tích: Đối với bài toán này dùng phương pháp sử dụng biến cố đối là phương pháp tối ưu bởi lẽ nếu tính trực tiếp ta phải xét rất nhiều trường hợp

  • Đối với biến cố A

  • Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất

  • Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai

  • Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm (khả năng này lại nằm

trong cả hai khả năng trên)

  • Đối với biến cố B. Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 tức

là có 10 khả năng xảy ra: 1,2,…,10

Lời giải:

Không gian mẫu 

Ta có biến cố đối 



  1. Ta có:



Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên đểvận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:



  • Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”,

“tất cả”…hoặc tính chẵn, lẻ, vô nghiệm, có nghiệm,…nếu tính kiểu bù gọn

hơn thì ta dùng biến cố đối



  • Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập

hợp để tránh xác định sai biến cố đối.

Bài toán 11 . Chon ngẫu nhiên 3 người biết rằng không có ai sinh vào năm nhuận. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau

( cùng ngày, cùng tháng).



Hướng dẫn :

Xét biến cố đối “ ba người có ngày sinh đôi một khác nhau”.

Số trường hợp có thể là 3653. Số trường hợp thuận lợi là 365.364.363

Vậy P = 1-



Bài toán vận dụng

Bài toán 12. Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi xanh và 6 viên bi

vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính các suất để 4 viên bi được chọn không có đủ 3 màu.



Lời giải: Số kết quả có thể là: = = 1365.

Gọi A là biến cố “4viên bi lấy được có đủ 3 màu”, khi đó các kết quả thuận lợi cho biến cố A là : = = 720

Ta có là biến cố “ 4 viên bi lấy ra không có đủ 3 màu”

Do đó xác suất cần tìm là P() = 1 – P(A) = 1- = .



B3. Dạng 3: Các bài toán sử sụng quy tắc cộng, quy tắc nhân

Bài toán 13.

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:



  1. Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.

  2. Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.

Phân tích:

  1. Đối với bài toán này phần lớn học sinh đều giải bằng cách đếm số phần tử của biến cố. học sinh trung bình thường liệt kê phần tử và đếm trực tiếp. Tất nhiên là cách giải này rất dài và có thể làm sót phần tử dẫn tới giải sai. Học sinh khá hơn thì sử dụng tính toán để đếm số phần tử như sau:

Ta có 

Chọn  là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Do đó 

Có 3 cách chọn , với mỗi cách chọn  ta có 3 cách chọn . Do đó có 9 cách chọn 



Tôi thấy rằng đây là một lời giải hợp lý, tuy nhiên bài toán này có thể được giải quyết một cách đơn giản hơn khi ta sử dụng quy tắc xác suất. Cho nên giáo viên có thể gợi mở, dẫn dắt học sinh để đi tới giải bài toán theo định hướng này như sau:

Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”

B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”

X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Thấy rằng  là hai biến cố độc lập và  



(Trong 6 mặt thì có 3 mặt chẵn)

Do vậy ta có:





  1. Gọi  là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”

Có 3 khả năng xảy ra để tích số chấm trên con súc sắc là số chẵn:

  • Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện

mặt lẻ.

  • Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt

chẵn.

  • Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn.

Và ta có  “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số lẻ” chỉ có 1 khả năng là cả hai con súc sắc đều xuất hiện mặt lẻ.

Như vậy một lần nữa ta lại thấy ưu thế của biến cố đối.

Ta có ,  độc lập nên ta có:

Và do đó P(Y) = 1- P() = 1-



Nhận xét: Bài toán trên ta đã sử dụng quy tắc nhân xác suất. Muốn sử dụng được quy tắc nhân phải khẳng định được hai biến cố là độc lập. Vậy hai biến cố thường độc lập trong các phép thử nào? Tất nhiên ở đây tôi không thể nêu tất cả mà chỉ đưa ra một số trường hợp quen thuộc

*)Gieo hai đồng tiền hoặc gieo đồng tiền hai lần thì biến cố xảy ra trong

lần gieo này độc lập với biến cố xảy ra trong lần gieo kia. Tương tự đối với con súc sắc.

*) Hai xạ thủ bắn súng thì sự bắn trúng hay trượt của người này không ảnh

hưởng tới người kia. Do đó các biến cố liên quan đến người này độc lập với biến cố liên quan đến người kia. Tương tự đối với một người bắn hai phát súng

*) Có hai cái hòm đựng bóng. Lấy từ mỗi hòm ra một quả bóng thì biến cố

lấy ra bóng của hòm này sẽ độc lập với biến cố lấy bóng ra ở hòm kia. Tương tự đối với bài toán lấy bi, lấy cầu...

Chú ý rằng: Nếu A và B độc lập thì  ;  và B; A và  cũng độc lập Cũng giống như quy tắc cộng và quy tắc nhân trong toán tổ hợp, đối với biến cố xảy ra khả năng này hoặc khả năng kia thì ta sử dụng quy tắc cộng xác suất. Còn với biến cố thực hiện lien tiếp hai hành động thì ta dùng quy tắc nhân

Bài toán14.

Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.



Phân tích: Trong 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng nghĩa là không cóchi tiết nào hỏng hoặc có một chi tiết hỏng. Bài toán này không thể giải theo dạng 1 mà phải sử dụng phép tính xác suất. Đây là bài toán dùng quy tắc cộng xác suất

Lời giải

Gọi  là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”



 là biến cố “trong 6 chi tiết lấy ra có 1 chi tiết hỏng”

 là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra có không quá 1 chi tiết hỏng”

Khi đó . Do A1 và A2 xung khắc nhau nên P(A) = P(A1) + P(A2)

Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là  = 210

Có 8 chi tiết không bị hỏng nên = 28

Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là 

Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là

Theo quy tắc nhân ta có = 112

Do vậy ta có: = P(A) = P(A1) +P(A2) = =




Bài toán 15.

Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.



  1. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.

  2. Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.

Phân tích: Bài toán này vẫn có thể giải theo dạng 1, tuy nhiên việc giải rất dài dòng và phức tạp. Nếu sử dụng phối hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân thì việc giải quyết bài toán trở nên đơn giản hơn rất nhiều.

Lời giải

  1. Gọi:

A là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ”

B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”

X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”

Ta có   , 

Mặt khác A và B độc lập nên P(X) = P(A).P(B) = .=


  1. Gọi:

Y là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu xanh”

Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”

Ta có . Mặt khác  độc lập nên

Thấy rằng  nên



Những bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các bài toán luôn tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua các biến cố này). Chúng ta để ý các xác suất sau:



  • Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì

  • Xác suất xuất hiện mặt sấp là 

  • Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 

  • Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì

  • Xác suất xuất hiện từng mặt là 

  • Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn: 

  • Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ:

  • Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3:

Đối với các phép thử khác thì tuỳ theo từng bài toán ta sẽ tính được

xác suất này. Và cũng có nhiều bài toán cho trực tiếp xác suât. Bài toán sau là một ví dụ



Bài toán 16.

Có 2 lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là . Hãy tính xác suất để:



  1. Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.

  2. Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.

Phân tích: Đây là bài toán cho trước xác suất nên chắc chắn ta phải sử dụng phép toán tính xác suất để giải quyết. Biến cố cơ sở sẽ là “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất” và “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

Lời giải:

Gọi  “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”



 “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ hai”

Khi đó ta có: P(A) = 0,7 = 1 – 0,7 = 0,3

P(B) = 0,8 = 1 – 0,8 = 0,2


  1. Gọi  là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có

chất lượng tốt”. Suy ra 

Do ba biến cố  là độc lập nên ta có





  1. Gọi  là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có

chất lượng tốt”. Suy ra 

Do  xung khắc và biến cố  và B; A và  độc lập nên ta có







Bài toán 17.

Một phòng được lắp hai hệ thống chuông báo động phòng cháy, một hệ

thống báo khi thấy khói và một hệ thống báo khi thấy lửa xuất hiện. Qua thực nghiệm thấy rằng xác suất chuông báo khói là , chuông báo lửa là  và cả 2 chuông báo là . Tính xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một trong 2 chuông sẽ báo.

Phân tích: Biến cố cần tính xác suất là chuông báo khói báo hoả hoạn hoặc chuông báo lửa báo lửa sẽ báo hỏa hoạn. Do đó bài toán này chắc chắn là dùng quy tắc cộng. Tuy nhiên hai biến cố cơ sở lại không xung khắc. Trong trường hợp này ta phải sử dụng quy tắc cộng mở rộng

Lời giải

Gọi  là biến cố “Chuông báo khi thấy khói”



 là biến cố “Chuông báo khi thấy lửa”

 là biến cố “Ít nhất một trong hai chông báo khi hỏa hoạn”

Theo giả thiết bài toán ta có 

Do đó ta có:



B4.Luyện tập chung:

Bài 18. Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Hướng dẫn :

Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố: “Cả hai thẻ được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn” là: .

Do hai biến cố A và B xung khắc, nên . Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có: . Vậy

Bài 19 . Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa. lấy ngẫu nhiên ba quyển sách. Tính xác suất sao cho:


  1. Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau

  2. Cả ba quyển lấy ra đều là sách Toán

  3. Ít nhất một quyển sách Toán

Hướng dẫn : Không gian mẫu là một tổ hợp chập 3 của 9 quyển sách nên . Kí hiệu A, B, C là các biến cố tương ứng câu a), b), c)

  1. Để có một phần tử của A ta phải tiến hành ba lần lựa chọn (từ mỗi loại

sách một quyển).

Vậy n(A) = 4.3.2 = 24 và



  1. Cả ba quyển sách lấy ra đều là sách Toán , nên

  2. Gọi là biến cố: “Trong ba quyển không có quyển sách Toán nào”, ta

có:, và
Bài toán 20: Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh. Tính xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp.

Hướng dẫn học sinh: Không gian mẫu gồm phần tử

Gọi A là biến cố 8 học sinh được chọn đều thuộc lớp A, khi đó

Gọi B là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A, hoặc B khi đó

Gọi C là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A, hoặc C khi đó

Gọi D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp C, hoặc B khi đó

A,B,C,D là các biến cố xung khắc là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp .

Vậy xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp bằng:



Giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp của các biến cố A1 , …, An xung khắc tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A.

Bài toán 21: Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong một lần bắn là . Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của B trong một lần bắn là . Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn

Hướng dẫn học sinh:

Gọi A1 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì

Gọi A2 là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì . A1, A2 là độc lập

là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn



là biến cố B bắn trượt cả ba lần bắn . A, B là độc lập

là biến cố mục tiêu không trúng đạn

Giúp học sinh đưa ra nhận xét : Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A1 , ..., An độc lập tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố A.



Bài toán 22: Trong lớp học có 6 bóng đèn, mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25. Lớp học đủ ánh sáng nếu có ít nhất 4 bóng hỏng. Tính xác suất dể lớp học không đủ ánh sáng.

Hướng dẫn học sinh:

Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất hỏng là 0,75

Gọi A1 là biến cố 4 bóng hỏng 2 bóng tối, A1 là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A2 là biến cố 5 bóng hỏng 1 bóng tối, A2 là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A3 là biến cố 6 bóng hỏng

là biến cố lớp học đủ ánh sáng

là biên cố lớp học không đủ ánh sáng



Bài toán 23: Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suỏt để 1 viên trúngvòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm

Hướng dẫn: Gọi A1 là biến cố 1 viên 10, 2 viên 9, A1 là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A2 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 9, A2 là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A3 là biến cố 2 viên 10, 1 viên 8, A3 là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A4 là biến cố 3 viên 10,



là biến cố xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm. Vậy

Bài toán 24. Chon ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp X =

  1. Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.

  2. Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ.

Hướng dẫn: Số kết quả có thể là =165

a)Các bộ ( a, b,c ) mà a + b + c = 12 là ( 1, 2,9), ( 1, 3, 8), (1,4,7),

( 1, 5 , 6), (2,3,7), ( 2,4,6), ( 3,4,5). Vậy P = .

b)Tổng a + b + c là lẻ khi và chỉ khi: Hoặc cả ba số đều lẻ hoặc trong

ba số có 1 số lẻ và 2 số chẵn. Ta có =20 cách chọn 3 số lẻ và = 60 cách chọn 1 số lẻ và 2 số chẵn. Vậy P = .

1   2   3


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2016
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương