PHẦn I : LỜi nóI ĐẦu lý do chọn đề tài

Gieo ngẫu nhiên một con súc sắc cân đối đồng chất hai lần. Tính xác

suất của các biến cố sau:

1. 
   Biến cố A: “Trong hai lần gieo ít nhất một lần xuất hiện mặt một
   

2. 
   Biến cố B: “Trong hai lần gieo tổng số chấm trong hai lần gieo là
   

• 
  Đối với biến cố A
  

• 
  Mặt một chấm xuất hiện lần thứ nhất
  
• 
  Mặt một chấm xuất hiện lần thứ hai
  
• 
  Hai lần gieo đều xuất hiện mặt một chấm (khả năng này lại nằm
  

• 
  Đối với biến cố B. Tổng số trong hai lần gieo là một số nhỏ hơn 11 tức
  

Không gian mẫu _

Ta có biến cố đối _

1. 
   Ta có:
   

Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp hay, tuy nhiên đểvận dụng được phương pháp này học sinh cần nắm được hai yếu tố:

• 
  Nhận dạng loại toán: Các bài toán có cụm từ “có ít nhất”, “tối thiểu”,
  

hơn thì ta dùng biến cố đối

• 
  Xác định tốt mệnh đề phủ định và phép toán lấy phần bù của một tập
  

( cùng ngày, cùng tháng).

Xét biến cố đối “ ba người có ngày sinh đôi một khác nhau”.

Số trường hợp có thể là 365³. Số trường hợp thuận lợi là 365.364.363

Vậy P = 1-

vàng. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó. Tính các suất để 4 viên bi được chọn không có đủ 3 màu.

Gọi A là biến cố “4viên bi lấy được có đủ 3 màu”, khi đó các kết quả thuận lợi cho biến cố A là : = = 720

Ta có là biến cố “ 4 viên bi lấy ra không có đủ 3 màu”

Do đó xác suất cần tìm là P() = 1 – P(A) = 1- = .

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho:

1. 
   Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn.
   
2. 
   Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn.
   

1. 
   Đối với bài toán này phần lớn học sinh đều giải bằng cách đếm số phần tử của biến cố. học sinh trung bình thường liệt kê phần tử và đếm trực tiếp. Tất nhiên là cách giải này rất dài và có thể làm sót phần tử dẫn tới giải sai. Học sinh khá hơn thì sử dụng tính toán để đếm số phần tử như sau:
   



Chọn _ là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Do đó _

Có 3 cách chọn _, với mỗi cách chọn _ ta có 3 cách chọn _. Do đó có 9 cách chọn _

Tôi thấy rằng đây là một lời giải hợp lý, tuy nhiên bài toán này có thể được giải quyết một cách đơn giản hơn khi ta sử dụng quy tắc xác suất. Cho nên giáo viên có thể gợi mở, dẫn dắt học sinh để đi tới giải bài toán theo định hướng này như sau:

Gọi A là biến cố “Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn”

B là biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt chẵn”

X là biến cố “Hai con súc sắc đều xuất hiện mặt chẵn”

Thấy rằng _ và _ là hai biến cố độc lập và _ 

Do vậy ta có:

2. 
   Gọi _ là biến cố “Tích số chấm trên 2 con súc sắc là số chẵn”
   

• 
  Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt chẵn, con súc sắc thứ hai xuất hiện
  

• 
  Con súc sắc thứ nhất xuất hiện mặt lẻ, con súc sắc thứ hai xuất hiện mặt
  

• 
  Cả hai con súc sắc cùng xuất hiện mặt chẵn.
  



Như vậy một lần nữa ta lại thấy ưu thế của biến cố đối.

Ta có _ và _, _ độc lập nên ta có:

Và do đó P(Y) = 1- P() = 1-

*)Gieo hai đồng tiền hoặc gieo đồng tiền hai lần thì biến cố xảy ra trong

lần gieo này độc lập với biến cố xảy ra trong lần gieo kia. Tương tự đối với con súc sắc.

*) Hai xạ thủ bắn súng thì sự bắn trúng hay trượt của người này không ảnh

hưởng tới người kia. Do đó các biến cố liên quan đến người này độc lập với biến cố liên quan đến người kia. Tương tự đối với một người bắn hai phát súng

*) Có hai cái hòm đựng bóng. Lấy từ mỗi hòm ra một quả bóng thì biến cố

lấy ra bóng của hòm này sẽ độc lập với biến cố lấy bóng ra ở hòm kia. Tương tự đối với bài toán lấy bi, lấy cầu...

Chú ý rằng: Nếu A và B độc lập thì _ và _ ; _ và B; A và _ cũng độc lập Cũng giống như quy tắc cộng và quy tắc nhân trong toán tổ hợp, đối với biến cố xảy ra khả năng này hoặc khả năng kia thì ta sử dụng quy tắc cộng xác suất. Còn với biến cố thực hiện lien tiếp hai hành động thì ta dùng quy tắc nhân

Bài toán14.

Trong hòm có 10 chi tiết, trong đó có 2 chi tiết hỏng. Tìm xác suất để khi lấy ngẫu nhiên 6 chi tiết thì có không quá 1 chi tiết hỏng.

Gọi _ là biến cố “Trong 6 chi tiết lấy ra không có chi tiết nào hỏng”





Khi đó _. Do A₁ và A₂ xung khắc nhau nên P(A) = P(A₁) + P(A₂)

Số cách lấy ra 6 chi tiết từ 10 chi tiết là  = 210

Có 8 chi tiết không bị hỏng nên = 28

Số cách lấy 5 chi tiết từ 8 chi tiết bị hỏng là 

Số cách lấy 1 chi tiết từ 2 chi tiết hỏng là

Theo quy tắc nhân ta có = 112

Do vậy ta có: = P(A) = P(A₁) +P(A₂) = =

Có hai hộp cùng chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất có 7 quả cầu đỏ, 5 quả cầu xanh. Hộp thứ hai có 6 quả cầu đỏ, 4 quả cầu xanh. Từ mỗi hộp lấy ra ngẫu nhiên 1 quả cầu.

1. 
   Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.
   
2. 
   Tính xác suất để 2 quả cầu lấy ra cùng màu.
   

1. 
   Gọi:
   

B là biến cố “Quả cầu lấy ra từ hộp thứ hai màu đỏ”

X là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu đỏ”

Ta có _{ } ,_{ }

Mặt khác A và B độc lập nên P(X) = P(A).P(B) = .=

2. 
   Gọi:
   

Z là biến cố “Hai quả cầu lấy ra cùng màu”

Ta có _. Mặt khác _ và _ độc lập nên

Thấy rằng _ nên

Những bài toán sử dụng quy tắc cộng xác suất và quy tắc nhân xác suất là các bài toán luôn tính được xác suất của biến cố cơ sở (các biến cố cần tính xác suất biểu diễn qua các biến cố này). Chúng ta để ý các xác suất sau:

• 
  Khi gieo một đồng tiền xu cân đối, đồng chất thì
  

• 
  Xác suất xuất hiện mặt sấp là 
  
• 
  Xác suất xuất hiện mặt ngửa là 
  

• 
  Khi gieo một con súc sắc cân đối đồng chất thì
  

• 
  Xác suất xuất hiện từng mặt là 
  
• 
  Xác suất xuất hiện mặt có số chấm là chẵn: 
  
• 
  Xác suất xuất hiện mặt số chấm là lẻ:
  
• 
  Xác suất xuất hiện mặt số chấm là số chia hết cho 3:
  

xác suất này. Và cũng có nhiều bài toán cho trực tiếp xác suât. Bài toán sau là một ví dụ

Có 2 lô hàng. Người ta lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng một sản phẩm. Xác suất để được sản phẩm chất lượng tốt ở từng lô hàng lần lượt là _. Hãy tính xác suất để:

1. 
   Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có chất lượng tốt.
   
2. 
   Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng 1 sản phẩm có chất lượng tốt.
   

Gọi _ “Lấy được sản phẩm tốt từ lô hàng thứ nhất”



Khi đó ta có: P(A) = 0,7 = 1 – 0,7 = 0,3

P(B) = 0,8 = 1 – 0,8 = 0,2

1. 
   Gọi _ là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có ít nhất một sản phẩm có
   



Do ba biến cố _ là độc lập nên ta có

2. 
   Gọi _ là biến cố “Trong 2 sản phẩm lấy ra có đúng một sản phẩm có
   



Do _ xung khắc và biến cố _ và B; A và _ độc lập nên ta có

Một phòng được lắp hai hệ thống chuông báo động phòng cháy, một hệ

thống báo khi thấy khói và một hệ thống báo khi thấy lửa xuất hiện. Qua thực nghiệm thấy rằng xác suất chuông báo khói là _, chuông báo lửa là _ và cả 2 chuông báo là _. Tính xác suất để khi có hỏa hoạn ít nhất một trong 2 chuông sẽ báo.

Phân tích: Biến cố cần tính xác suất là chuông báo khói báo hoả hoạn hoặc chuông báo lửa báo lửa sẽ báo hỏa hoạn. Do đó bài toán này chắc chắn là dùng quy tắc cộng. Tuy nhiên hai biến cố cơ sở lại không xung khắc. Trong trường hợp này ta phải sử dụng quy tắc cộng mở rộng

Lời giải

Gọi _ là biến cố “Chuông báo khi thấy khói”





Theo giả thiết bài toán ta có _

Do đó ta có:



B4.Luyện tập chung:

Bài 18. Một hộp đựng chín thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai số ghi trên thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn.

Hướng dẫn :

Gọi A là biến cố: “ Rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”, B là biến cố: “Cả hai thẻ được rút ra là thẻ chẵn”. Khi đó biến cố C: “ Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn” là: .

Do hai biến cố A và B xung khắc, nên . Vì có 4 thẻ chẵn và 5 thẻ lẻ nên ta có: . Vậy

Bài 19 . Trên giá sách có 4 quyển sách Toán, 3 quyển sách Lí và 2 quyển sách Hóa. lấy ngẫu nhiên ba quyển sách. Tính xác suất sao cho:

1. 
   Ba quyển lấy ra thuộc ba môn khác nhau
   
2. 
   Cả ba quyển lấy ra đều là sách Toán
   
3. 
   Ít nhất một quyển sách Toán
   

1. 
   Để có một phần tử của A ta phải tiến hành ba lần lựa chọn (từ mỗi loại
   

Vậy n(A) = 4.3.2 = 24 và

2. 
   Cả ba quyển sách lấy ra đều là sách Toán , nên
   
3. 
   Gọi là biến cố: “Trong ba quyển không có quyển sách Toán nào”, ta
   

Gọi A là biến cố 8 học sinh được chọn đều thuộc lớp A, khi đó

Gọi B là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A, hoặc B khi đó

Gọi C là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp A, hoặc C khi đó

Gọi D là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc lớp C, hoặc B khi đó

A,B,C,D là các biến cố xung khắc là biến cố 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp .

Vậy xác suất để 8 học sinh được chọn thuộc vào không quá hai trong 3 lớp bằng:



Giúp học sinh đưa ra nhận xét: Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A chia thành nhiều nhóm ta có thể coi biến cố A là biến cố hợp của các biến cố A₁ , …, A_n xung khắc tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc cộng xác suất để tính xác suất của biến cố A.

Bài toán 21: Xạ thủ A bắn 2 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của A trong một lần bắn là . Xạ thủ B bắn 3 viên đạn vào mục tiêu, xác suất bắn trúng của B trong một lần bắn là . Tính xác suất để mục tiêu không trúng đạn

Hướng dẫn học sinh:

Gọi A₁ là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ nhất thì

Gọi A₂ là biến cố A bắn trượt lần bắn thứ hai thì . A₁, A₂ là độc lập

là biến cố A bắn trượt cả hai lần bắn



là biến cố B bắn trượt cả ba lần bắn . A, B là độc lập

là biến cố mục tiêu không trúng đạn

 Giúp học sinh đưa ra nhận xét : Trong những bài toán mà các kết quả thuận lợi của biến cố A phải đồng thời thỏa mãn nhiều điều kiện ràng buộc khác nhau ta có thể coi biến cố A là biến cố giao của các biến cố A₁ , ..., A_n độc lập tương ứng. Sau đó sử dụng quy tắc nhân xác suất để tính xác suất của biến cố A.

Mỗi bóng có xác suất bị cháy là 0,25, mỗi bóng có xác suất hỏng là 0,75

Gọi A₁ là biến cố 4 bóng hỏng 2 bóng tối, A₁ là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A₂ là biến cố 5 bóng hỏng 1 bóng tối, A₂ là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A₃ là biến cố 6 bóng hỏng

là biến cố lớp học đủ ánh sáng

là biên cố lớp học không đủ ánh sáng



Bài toán 23: Một người bắn 3 viên đạn. Xác suất để cả 3 viên trúng vòng 10 là 0,008, xác suỏt để 1 viên trúngvòng 8 là 0,15, xác suất để 1 viên trúng vòng dưới 8 là 0,4. Tính xác suất để xạ thủ đạt ít nhất 28 điểm

Hướng dẫn: Gọi A₁ là biến cố 1 viên 10, 2 viên 9, A₁ là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A₂ là biến cố 2 viên 10, 1 viên 9, A₂ là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A₃ là biến cố 2 viên 10, 1 viên 8, A₃ là biến cố hợp của biến cố con,

Gọi A₄ là biến cố 3 viên 10,

1. 
   Tính xác suất để tổng ba số được chọn là 12.
   
2. 
   Tính xác suất để tổng ba số được chọn là số lẻ.
   

a)Các bộ ( a, b,c ) mà a + b + c = 12 là ( 1, 2,9), ( 1, 3, 8), (1,4,7),

( 1, 5 , 6), (2,3,7), ( 2,4,6), ( 3,4,5). Vậy P = .

b)Tổng a + b + c là lẻ khi và chỉ khi: Hoặc cả ba số đều lẻ hoặc trong

ba số có 1 số lẻ và 2 số chẵn. Ta có =20 cách chọn 3 số lẻ và = 60 cách chọn 1 số lẻ và 2 số chẵn. Vậy P = .