PHẦn I : LỜi nóI ĐẦu lý do chọn đề tài

Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất. Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ hợp - xác suất học sinh phải nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ năng đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể. Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 chương trình cơ bản môn Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống cụ thể.

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã làm đúng.

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “Phương pháp giải bài toán xác suất lớp 11”.

Phần I: Lời nói đầu

Phần II: Nội dung

A: Cơ sở lý thuyết

B: Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11

C: Một số bài tập tham khảo

Phần III: Kết luận
2. Mục đích yêu cầu

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể.

- Khách thể: Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn.

- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất, các bài toán xác suất.

- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11.

1. 
   Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất
   

1. 
   Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học
   
2. 
   Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh.
   
3. 
   Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải
   

1. 
   CƠ SỞ LÝ THUYẾT
   

1. 
   Biến cố và phép thử biến cố
   
   • 
     Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được
     

• 
  Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là
  

• 
  Biến cố là một tập con của không gian mẫu
  

Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

- Tập được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không).

- Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.

• 
  Phép toán trên biến cố
  

+ Tập  được gọi là biến cố đối của biến cố _, kí hiệu là _. Và _ xảy ra khi và chỉ khi _ không xảy ra.

+Tập được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập _ được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là

A.B.

+ Nếu _ thì ta nói _ và _ là xung khắc.





không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

2. 
   Định nghĩa cổ điển của xác suất
   





3. 
   Tính chất của xác suất:
   

1. 
   Tính chất cơ bản:
   

• 
  P() = 0
  
• 
  P() = 1
  
• 
  0 P (A) 1 với mọi biến cố A.
  
• 
  P () = 1- P(A)
  

2. 
   Quy tắc cộng xác suất
   

• 
  Nếu A và B xung khắc thì:
  
• 
  Nếu  A B = thì
  
• 
  Với mọi biến cố _ và _ bất kì ta có:
  

3. 
   Quy tắc nhân xác suất:
   

2. 
   PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11
   

B1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất. Xác suất của biến cố A là:

Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6

thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:

1. 
   Cạnh của lục giác.
   
2. 
   Đường chéo của lục giác.
   
3. 
   Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.
   

Do đó nếu gọi:







Và ta có = 15,

n(A) = 6 P(A) = = 

B = P(B) = 1 – P(A) = 1 -

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng

ngang. Tìm xác suất sao cho.

1. 
   Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.
   
2. 
   Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.
   

Đây tuy là một bài toán xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài toán đếm trong tổ hợp. Đó là tập hợp của các bài toán tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:

1. 
   Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng
   

( Đáp số: _ cách).

2. 
   Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng
   

( Đáp số: _ cách).

3. 
   Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng
   

( Đáp số: 4._ cách)

Như vậy bài toán trên được giải như sau:

Lời giải:

Gọi _ là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”

Và _ là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”

Ta có n() = 720, n(A) = 72, n(B) = 144 

Suy ra P(A) = = , P(B) = =

Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài toán sử dụng công thức và kĩ thuật của toán tổ hợp. Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vững công thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất.

Bên cạnh đó, có những bài toán chỉ cần dùng phương pháp liệt kê.

Bài toán 3.

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.

Phộp thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’

Không gian mẫu: gồm 6.6=36 phần tử

Xét biến cố A: tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.

Tập các kết quả thuận lợi của A :

suy ra

Xác suất của A:

Gọi S là tập hợp tát cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. chon ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Số phần tử của S là = 210 210

Số cách chọn một số chẵn từ S là 3.6.5 = 90 cách 90

Xác suất cần tính là P =

Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.

Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là 7.6 = 42.

Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là 4.2 = 8

Số cách chọn 2 viên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là 3.4 = 12

Xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu là: P =

Bài toán 6.

Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2.

liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập

hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán.

Gọi A là biến cố cần tính xác suất

Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 24 cách chọn j ( từ 13 đến 36 có 24 số) do đó theo quy tắc nhân: n(A) = 6.24 = 144

khi đó P(A) == =
Bài toán 7.

Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất

hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.

1. 
   Mô tả không gian mẫu.
   
2. 
   Tính xác suất:
   

B: “Số lần gieo là năm”

C: “Số lần gieo là sáu”

Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:

• 
  Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
  

• 
  Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta
  

Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có thể xác định được không gian mẫu.

1. 
   Không gian mẫu = 
   
2. 
   Ta có: A =, n(A) =3 P(A) =
   

C =, n(C) = 2 P(C) =

Anh ta trở lại điểm xuất phát khi và chỉ khi trong 4 bước, anh ta có 2 lần bước tiến ( T) và 2 lần bước lùi ( L). Dễ thấy có 6 trường hợp để trong 4 bước có 2 tiến, 2 lùi là :

T –T - L – L, T – L –T – L, L – L – T – T,

L –T - L –T, T –L – L – T, L – T – T – L .

Mỗi bước tiến hay lùi đều có xác suất là , nên mỗi trường hợp có xác suất là ...= . Khi đó xác suất cần tìm là P = .

B2. Dạng 2: Biến cố đối

Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phức tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn. Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy

Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:

1. 
   Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.
   
2. 
   Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.
   

Học sinh có thể giải quyết bài toán theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.

Do vậy học sinh sẽ giải bài toán như sau:

Suy ra = .

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Tuy nhiên nếu để ý rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố _: “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa”. Do đó bài toán này sẽ được giải như sau:

Lời giải:

Không gian mẫu _

1. 
   Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:
   



Và ta có = n() = 1 P() =. Vậy P(A) = 

2. 
   Tương tự ta có: = n() = 2 P() = suy ra P(B) =