PHẦn I : LỜi nóI ĐẦu lý do chọn đề tài



tải về 178.55 Kb.
trang1/3
Chuyển đổi dữ liệu07.07.2016
Kích178.55 Kb.
  1   2   3
PHẦN I : LỜI NÓI ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài

Trong chương trình sách giáo khoa đại số và giải tích 11 ở chương II đề cập đến chủ đề: Tổ hợp - xác suất. Để có thể giải quyết được các bài toán Tổ hợp - xác suất học sinh phải nắm vững các kiến thức theo chuẩn kiến thức kỹ năng đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể. Qua thực tiễn giảng dạy xác suất cho học sinh lớp 11 chương trình cơ bản môn Toán tôi nhận thấy: đa số các em chưa hiểu thấu đáo các khái niệm cơ bản như: không gian mẫu, biến cố, biến cố độc lập, biến cố xung khắc, biến cố đối,… các em chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc, đa số học sinh chưa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải quyết các tình huống cụ thể.

Lý thuyết xác suất nghiên cứu quy luật của các hiện tượng ngẫu nhiên. Do đặc thù của chuyên ngành nên các bài toán về xác suất có nhiều điểm khác biệt so với các bài toán đại số, giải tích, hình học. Chính vì vậy, đứng trước một bài toán xác suất học sinh thường lúng túng, không biết cách giải quyết như thế nào, thậm chí có nhiều em đã làm xong vẫn băn khoăn cũng không dám chắc mình đã làm đúng.

Với mong muốn giúp các em học sinh lớp 11 nắm vững các kiến thức cơ bản về xác suất đồng thời biết vận dụng một cách linh hoạt các kiến thức đó để giải quyết nhiều tình huống khác nhau, tôi chọn đề tài: “Phương pháp giải bài toán xác suất lớp 11”.



Đề tài của tôi gồm 3 phần:

Phần I: Lời nói đầu

Phần II: Nội dung

A: Cơ sở lý thuyết

B: Phương pháp giải một số bài toán xác suất 11

C: Một số bài tập tham khảo

Phần III: Kết luận
2. Mục đích yêu cầu

Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán vào những tình huống cụ thể.



3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

- Khách thể: Học sinh khối 11 trường THPT Nguyễn Trung Ngạn.

- Đối tượng nghiên cứu: Các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất, các bài toán xác suất.

- Phạm vi nghiên cứu: Các kiến thức cơ bản về xác suất trong chương trình SGK cơ bản và nâng cao môn toán lớp 11.



4.Nhiệm vụ nghiên cứu.

  1. Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất

b) Hướng dẫn học sinh giải quyết các bài toán xác suất trong một số tình huống cụ thể.

5.Phương pháp nghiên cứu

  1. Kết hợp linh hoạt các phương pháp dạy học

  2. Phỏng vấn trình độ nhận thức, kỹ năng giải toán của học sinh.

  3. Tổng kết kinh nghiệm, tìm ra những khó khăn, thuận lợi khi giải

quyết các bài toán ở những lớp trước.

Phần II: NỘI DUNG

  1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

  1. Biến cố và phép thử biến cố

    • Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được

kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể có của phép thử đó.

  • Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là

không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là .

  • Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Biến cố thường được kí hiệu bằng chữ in hoa A, B, C,… và cho dưới dạng mệnh đề xác định tập hợp diễn đạt bằng lời hoặc dạng mệnh đề xác định tập con.

Trong một phép thử luôn có hai biến cố đặc biệt:

- Tập được gọi là biến cố không thể ( gọi tắt là biến cố không).

- Tập  được gọi là biến cố chắc chắn.



    • Phép toán trên biến cố

Trước hết ta giả thiết các biến cố đang xét cùng liên quan đến phép thử và các kết quả của phép thử là đồng khả năng.

+ Tập  được gọi là biến cố đối của biến cố , kí hiệu là . Và  xảy ra khi và chỉ khi  không xảy ra.

+Tập được gọi là hợp của các biến cố A và B.

+ Tập  được gọi là giao của các biến cố A và B, còn được viết là

A.B.

+ Nếu  thì ta nói xung khắc.



+ Hai biến cố  được gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay

không xảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.




  1. Định nghĩa cổ điển của xác suất

Giả sử  là biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số  là xác suất của biến cố , kí hiệu là P(A). Vậy

  1. Tính chất của xác suất:

  1. Tính chất cơ bản:

  • P() = 0

  • P() = 1

  • 0 P (A) 1 với mọi biến cố A.

  • P () = 1- P(A)

  1. Quy tắc cộng xác suất

  • Nếu A và B xung khắc thì:

  • Nếu  A B = thì

  • Với mọi biến cố  bất kì ta có:



  1. Quy tắc nhân xác suất:

Hai biến cố A và B độc lập khi và chỉ khi 



  1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC SUẤT LỚP 11

B1. Dạng 1: Các bài toán tính xác suất đơn giản: Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất. Xác suất của biến cố A là:

Bài toán 1.

Cho một lục giác đều ABCDEF. Viết các chữ cái A, B, C, D, E, F vao 6

thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên 2 thẻ đó là:


  1. Cạnh của lục giác.

  2. Đường chéo của lục giác.

  3. Đường chéo nối 2 đỉnh đối diện của lục giác.

Phân tích:

Đây có thể coi là một bài toán đếm: đếm tổng số cạnh và đường chéo của một lục giác đều. Chúng ta đã biết từ 6 điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng có thể tạo ra được = 15 đoạn thẳng.

Do đó nếu gọi:



 là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là cạnh của lục giác”

 là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo của lục giác”

 là biến cố “Đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ là đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác”.

Và ta có = 15,

n(A) = 6 P(A) = = 

B = P(B) = 1 – P(A) = 1 -



P(C) =

Bài toán 2.

Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng

ngang. Tìm xác suất sao cho.


  1. Nam nữ ngồi xen kẽ nhau.

  2. Ba bạn nam ngồi cạnh nhau.

Phân tích:

Đây tuy là một bài toán xác suất nhưng thực chất nó lại là một bài toán đếm trong tổ hợp. Đó là tập hợp của các bài toán tổ hợp nhỏ quen thuộc như sau:



  1. Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng

ngang

( Đáp số:  cách).



  1. Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ và 6 ghế kê theo hàng

ngang, biết rằng nam nữ ngồi cạnh nhau.

( Đáp số:  cách).



  1. Có bao nhiêu cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ vào 6 ghế kê theo hàng

ngang, biết rằng ba bạn nam ngồi cạnh nhau.

( Đáp số: 4. cách)

Như vậy bài toán trên được giải như sau:

Lời giải:

Gọi  là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà nam và nữ xen kẽ nhau”

 là biến cố “Xếp 3 học sinh nam và 3 học sinh nữ vào 6 ghế kê theo hàng ngang mà 3 bạn nam ngồi cạnh nhau”

Ta có n() = 720, n(A) = 72, n(B) = 144 

Suy ra P(A) = = , P(B) = =

Như vậy phần lớn các bài toán dạng 1 là các bài toán sử dụng công thức và kĩ thuật của toán tổ hợp. Đối với các bài toán như vậy thì học sinh chỉ cần phải nắm vững công thức về tổ hợp và định nghĩa xác suất.

Bên cạnh đó, có những bài toán chỉ cần dùng phương pháp liệt kê.

Bài toán 3.

Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất để tổng số chấm trờn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.



Hướng dẫn học sinh:

Phộp thử T: ‘‘Gieo đồng thời hai con súc sắc’’

Không gian mẫu: gồm 6.6=36 phần tử

Xét biến cố A: tổng số chấm tròn mặt xuất hiện của hai con súc sắc bằng 8.

Tập các kết quả thuận lợi của A :

suy ra

Xác suất của A:



Nhận xét: Tuy nhiên, phương pháp liệt kê chỉ có hiệu quả khi số phần tử của biến cố là nhỏ. Nếu số phần tử lớn thì việc liệt kê trở nên khó khăn và dễ xét thiếu phần tử

Bài toán 4. ( Đề thi đại học khối A,A1 năm 2013)

Gọi S là tập hợp tát cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. chon ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.



Lời giải : Gọi A là biến cố ” Số được chọn là số chẵn”

Số phần tử của S là = 210 210

Số cách chọn một số chẵn từ S là 3.6.5 = 90 cách 90

Xác suất cần tính là P =



Phân tích: Trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn học sinh đếm số phần tử quy tắc nhân

Tương tự học sinh giải bài toán sau đây :

Bài toán 5. ( Đề thi đại học khối B năm 2013)

Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ 2 chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hôp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.



Lời giải :

Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là 7.6 = 42.

Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là 4.2 = 8

Số cách chọn 2 viên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là 3.4 = 12

Xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu là: P =

Bài toán 6.

Trên một cái vòng hình tròn dùng để quay sổ số có gắn 36 con số từ 01 đến 36. Xác suất để bánh xe sau khi quay dừng ở mỗi số đều như nhau. Tính xác suất để khi quay hai lần liên tiếp bánh xe dừng lại ở giữa số 1 và số 6 ( kể cả 1 và 6) trong lần quay đầu và dừng lại ở giữa số 13 và 36 ( kể cả 13 và 36) trong lần quay thứ 2.



Phân tích: Rõ ràng là trong bài toán này ta không thể sử dụng phương pháp

liệt kê vì số phần tử của biến cố là tương đối lớn. Ở đây ta sẽ biểu diễn tập

hợp dưới dạng tính chất đặc trưng để tính toán.

Gọi A là biến cố cần tính xác suất





Có 6 cách chọn i, ứng với mỗi cách chọn i có 24 cách chọn j ( từ 13 đến 36 có 24 số) do đó theo quy tắc nhân: n(A) = 6.24 = 144

khi đó P(A) == =
Bài toán 7.

Gieo một đồng tiền cân đối đồng chất liên tiếp cho đến khi lần đầu tiên xuất

hiện mặt ngửa hoặc cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại.


  1. Mô tả không gian mẫu.

  2. Tính xác suất:

A: “Số lần gieo không vượt quá ba”

B: “Số lần gieo là năm”

C: “Số lần gieo là sáu”

Phân tích: Đối với bài toán này rất nhiều học sinh lúng túng không biết cách xác định không gian mẫu vì học sinh vốn quen với các bài toán cho trước số lần gieo. Bài toán này trước hết phải xác định được số lần gieo. Giáo viên có thể gợi ý cho học sinh bằng các câu hỏi như:


  • Nếu không có giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta

phải gieo đồng tiền bao nhiêu lần?

  • Nếu kết hợp với giả thiết “cả 6 lần xuất hiện mặt sấp thì dừng lại” thì ta

phải gieo đồng tiền tối đa bao nhiêu lần?

Tất nhiên với câu hỏi đầu tiên học sinh không thể đưa ra một con số cụ thể vì nếu gieo 100 lần vẫn có thể là cả 100 lần đều xuất hiện mặt sấp do đó vẫn chưa thể dừng lại nhưng học sinh đã hình dung ra dạng các phần tử đầu tiên. Với câu hỏi thứ hai học sinh có thể trả lời được số lần gieo tối đa là 6. Từ đó học sinh có thể xác định được không gian mẫu.



Lời giải:

  1. Không gian mẫu = 

  2. Ta có: A =, n(A) =3 P(A) =

, n(B) = 1 P(B) =

C =, n(C) = 2 P(C) =



Bài toán 8. Một người say rượu bước bốn bước. Mỗi bước anh ta tiến lên phía trước nửa mét hoặc lùi lại phía sau nửa mét với xác suất như nhau. Tính xác suất để sau bốn bước đó anh ta trở lại điểm xuất phát.

Hướng dẫn :

Anh ta trở lại điểm xuất phát khi và chỉ khi trong 4 bước, anh ta có 2 lần bước tiến ( T) và 2 lần bước lùi ( L). Dễ thấy có 6 trường hợp để trong 4 bước có 2 tiến, 2 lùi là :

T –T - L – L, T – L –T – L, L – L – T – T,

L –T - L –T, T –L – L – T, L – T – T – L .

Mỗi bước tiến hay lùi đều có xác suất là , nên mỗi trường hợp có xác suất là ...= . Khi đó xác suất cần tìm là P = .

B2. Dạng 2: Biến cố đối

Trong toán học, có những bài toán khi tính toán trực tiếp rất dài dòng và phức tạp. Khi đó phương pháp gián tiếp lại rất hiệu quả và cho ta cách làm ngắn gọn. Phương pháp sử dụng biến cố đối là một phương pháp như vậy



Bài toán 9.

Gieo đồng tiền xu cân đối đồng chất 3 lần. Tính xác suất của các biến cố:



  1. Biến cố A: “Trong 3 lần gieo có ít nhất một lần xuất hiện mặt ngửa”.

  2. Biến cố B: “Trong 3 lần gieo có cả hai mặt sấp, ngửa”.

Phân tích:

Học sinh có thể giải quyết bài toán theo định hướng là: ít nhất 1 lần xuất hiện mặt ngửa thì có 3 khả năng có thể xảy ra là: 1 lần xuất hiện mặt ngửa, hai lần xuất hiện mặt ngửa, ba lần xuất hiện mặt ngửa.

Do vậy học sinh sẽ giải bài toán như sau:



Suy ra = .

Tuy nhiên làm như vậy dài và rất dễ bỏ quên trường hợp. Tuy nhiên nếu để ý rằng biến cố đối của biến cố A là biến cố : “Không có lần nào xuất hiện mặt ngửa”. Do đó bài toán này sẽ được giải như sau:

Lời giải:

Không gian mẫu 



  1. Ta có biến cố đối của biến cố A là biến cố:

: “Không cố lần nào xuất hiện mặt ngửa”

Và ta có = n() = 1 P() =. Vậy P(A) = 



  1. Tương tự ta có: = n() = 2 P() = suy ra P(B) =

  1   2   3


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2016
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương