LÕÌi nóI ÐÂÌU

2.1.3. Hình Elip biêìn daòng

Trong tiêìt này chúng ta seÞ tìm hiêÒu nhýÞng vòng tròn vô cùng bé trên mãòt elipxôit ðýõòc biêÒu thiò nhý thêì nào trên mãòt phãÒng.

Hình 2.1

Hình Elip biêìn daòng

GiaÒ thiêìt trên mãòt elipxôit có vòng tròn vô cùng bé tâm A.Tâm A ðýõòc biêÒu thiò trên mãòt phãÒng là ðiêÒm A’. Taòi môÞi ðiêÒm A có các hýõìng võìi các góc phýõng viò là µ § taòi ðiêÒm A’ trên mãòt phãÒng thì các hýõìng ðó ðýõòc biêÒu thiò thành các hýõìng µ §Goòi tyÒ lêò ðôò dài trên các hýõìng nói trên là µ §(hình 2.1).

TýÌ ðiêÒm A’ ta veÞ các hýõìng taòo võìi hýõìng kinhtuyêìn các góc µ §và trên các hýõìng ðó ta lâìy các ðoaòn có ðôò dài bãÌng triò sôì tyÒ lêò µ §

Nôìi các ðiêÒm cuôìi cuÒa các ðoaòn ðó bãÌng ðýõÌng cong, chúng ta ðýõòc ðýõÌng cong ðãòc trýng cho sýò thay ðôÒi cuÒa tyÒ lêò ðôò dài phuò thuôòc vào phýõng hýõìng taòi ðiêÒm ðã cho. Lâìy A’ làm gôìc toòa ðôò vuông góc (x,y) và gôìc toaò ðôò cýòc µ § ta có các quan hêò:

µ § µ §

Thay các giá triò cuÒa µ § và µ § týÌ (4) vào công thýìc tyÒ lêò ðôò dài:

µ §

chúng ta nhâòn ðýõòc phýõng trình ðýõÌng cong bâòc hai:

Thay các giá triò cuÒa P1, Q1, R1 võìi:

µ §; µ §; µ §

Ta tìm ðýõòc biêòt thýìc cuÒa phýõng trình này là:

µ § (6)

Biêòt thýìc là sôì dýõng, chýìng toÒ rãÌng ðýõÌng cong mà chúng ta ðang xét chính là ðýõÌng elíp.

Taòi A’ lâìy các hýõìng truòc chính làm truòc toaò ðôò vuông góc (x’, y’) (Hình 2.2) thì phýõng trình cuÒa hình elíp biêìn daòng ðýõòc viêìt là:

µ § (7)

Toòa ðôò x’, y’ cuÒa giao ðiêÒm B cuÒa ðýõÌng elíp biêìn daòng võìi ðýõÌng kinh tuyêìn là:

Thay các giá triò x’, y’ týÌ (8) vào (7) ta có:

µ §

Vì: µ §

Vâòy: µ § (9)

ÐêÒ ýìng duòng các hình elíp biêìn daòng taòi môòt ðiêÒm ðã cho cuÒa phép chiêìu, chúng ta câÌn phaÒi biêìt 6 ðaòi lýõòng: µ §võìi:

m: TyÒ lêò ðôò dài theo hýõìng kinh tuyêìn

n: TyÒ lêò ðôò dài trên viÞ tuyêìn

a: TyÒ lêò ðôò dài cýòc ðaòi; b: TyÒ lêò ðôò dài cýòc tiêÒu.

è: góc giýÞa hýõìng kinh tuyêìn và hýõìng viÞ tuyêìn trên phép chiêìu

â0: Góc phýõng viò

Thông qua các hình elíp biêìn daòng ðã dýòng taòi các ðiêÒm khác nhau cuÒa phép chiêìu chúng ta có thêÒ nhâòn xét bãÌng trýòc quan vêÌ biêìn daòng cuÒa phép chiêìu ðó (hình 2.3).

Hình 2.3 (ƒî Hình 5 trang 25 _BG baÒn ðôÌ hoòc)

2.1.4. Khái niêòm vêÌ tyÒ lêò diêòn tích

TyÒ lêò diêòn tích là tyÒ sôì giýÞa diêòn tích vô cùng bé trên mãòt phãÒng (baÒn ðôÌ) và diêòn tích vô cùng bé týõng ýìng trên mãòt elipxôit hoãòc mãòt câÌu:

µ §

Trong ðó:

dF - Diêòn tích vô cùng bé trên mãòt elipxôit hoãòc mãòt câÌu.

Trên mãòt elipxôit ta lâìy môòt hình thang

ABCD ðýõòc giõìi haòn bõÒi các ðoaòn vô cùng bé

cuÒa kinh tuyêìn và viÞ tuyêìn (hình 2.4a)

Diêòn tích cuÒa nó seÞ là:

µ §

Hình thang vô cùng bé ðó ðýõòc biêÒu thiò trên mãòtphãÒng là hình týì giác vô cùng bé A’B’C’D’

µ §Hình 2.4

Do ðó tyÒ lêò diêòn tích P seÞ là:

µ § (10)

Hay là µ §. Ðôìi chiêìu võìi:

µ § µ § ta có: P=a.b

Thay µ § võìi:

µ §

Nhý vâòy: µ §

2.1.5. Sýò biêÒu thiò ðôÌng góc và ðôÌng diêòn tích mãòt Elipxoit trên mãòt phãÒng

Chúng ta ðã biêìt rãÌng sýò biêÒu thiò mãòt elipxôit hoãòc mãòt câÌu trên mãòt phãÒng trong bâìt kyÌ moòi phép chiêìu thì ðêÌu có biêìn daòng diêòn tích và biêìn daòng ðôò dài, các phép chiêìu ðó goòi là phép chiêìu ðôÌng góc.

Ngýõòc laòi, cuÞng có nhýÞng phép chiêìu không có biêìn daòng diêòn tích mà chiÒ có biêìn daòng góc và ðôò dài. Các phép chiêìu nhý vâòy ðýõòc goòi là phép chiêìu ðôÌng diêòn tích. Không có nhýÞng phép chiêìu ðaÒm baÒo cho ðôò dài hoàn toàn không có biêìn daòng, mà chiÒ có nhýÞng phép chiêìu ðaÒm baÒo cho ðôò dài theo môòt hýõìng nhâìt ðiònh nào ðó taòi môÞi ðiêÒm thì không có biêìn daòng mà thôi.

Dýõìi ðây seÞ giõìi thiêòu nhýÞng nét cõ baÒn vêÌ các phép chiêìu này, sýò trình bày cuò thêÒ xem thêm õÒ “Bài giaÒng BaÒn ðôÌ hoòc” - TrýõÌng ÐH MoÒ - Ðiòa châìt.

1- Các phép chiêìu ðôÌng góc

Trên phép chiêìu ðôÌng góc thì góc không có biêìn daòng, týìc là µ § taòi moòi ðiêÒm; ðiêÌu ðó cuÞng có nghiÞa tyÒ lêò ðôò dài lõìn nhâìt bãÌng tyÒ lêò ðôò dài nhoÒ nhâìt týìc là tyÒ lêò ðôò dài không phuò thuôòc vào phýõng hýõìng; các hình elíp biêìn daòng là hình tròn; phép chiêìu ðôÌng góc ðaÒm baÒo sýò ðôÌng daòng cuÒa các phâÌn týÒ vô cùng bé týõng ýìng trên mãòt elipxôit và trên mãòt phãÒng.

Hêò phýõng trình vi phân cuÒa phép chiêìu ðôÌng góc là:

µ § (12)

µ § (13)

Trên các phép chiêìu ðôÌng diêòn tích thì diêòn tích không có biêìn daòng, týìc là taòi moòi ðiêÒm thì tyÒ lêò diêòn tích P là môòt hãÌng sôì, hãÌng sôì ðó thýõÌng choòn là 1

µ §

Hay là: µ § (14)

2.1.6. Tính chuyêÒn týÌ toaò ðôò ðiòa lý µ §sang toaò ðôò cýòc mãòt câÌu (Z, a)

Trong nhiêÌu trýõÌng hõòp, bêÌ mãòt toán hoòc cuÒa trái ðâìt ðýõòc nhâòn là mãòt bán kính R. Trên mãòt câÌu cuÞng thêÒ hiêòn hêò toaò ðôò ðiòa lý ðýõòc taòo bõÒi các ðýõÌng kinh tuyêìn µ § và các ðýõÌng viÞ tuyêìn µ §. Maòng lýõìi kinh, viÞ tuyêìn là maòng lýõìi cõ sõÒ.

ÐêÒ thiêìt lâòp và tính toán phép chiêìu baÒn ðôÌ, trong nhiêÌu trýõÌng hõòp, ngoài

toaò ðôò ðiòa lý, ngýõÌi ta còn dùng hêò toaò ðôò cýòc mãòt câÌu ðýõòc taòo týÌ các vòng thãÒng ðýìng và các vòng ðôÌng cao, mà viò trí cuÒa ðiêòn cýòc Q cuÒa hêò thì ðýõòc lýòa choòn môòt cách thích hõòp ðôìi võìi trýõÌng hõòp cuò thêÒ. Các vòng thãÒng ðýìng và các vòng ðôÌng cao thì týõng týò nhý các kinh tuyêìn và các viÞ tuyêìn cuÒa hêò

toaò ðôò ðiaò lý ( hình2.5).Hình 2.5:

Toaò ðôò cýòc mãòt câÌu (z,a) cuÒa hêò nghiêng

Toaò ðôò ðiòa lý cuÒa ðiêÒm cýòc Q cuÒa hêò toaò ðôò ðiêÒm cýòc câÌu là µ §. TuyÌ thuôòc vào viÞ ðôò µ § mà có các trýõÌng hõòp khác nhau:

Nêìu µ §thì là hêò toaò ðôò cýòc mãòt câÌu nghiêng.

Nêìu µ § thì là hêò toaò ðôò cýòc mãòt câÌu ngang.

Nêìu µ § thì là hêò toòa ðôò ðiòa lý. Khi ðó cýòc Q trùng võìi cýòc P cuÒa trái ðâìt.

Viò trí cuÒa ðiêÒm trong hêò toaò ðôò cýòc mãòt câÌu nghiêng hoãòc ngang thì ðýõòc xác ðiònh bõÒi các toaò ðôò z và a, trong ðó: z là khoaÒng thiên ðiÒnh, a là góc phýõng viò ( hình 2.5), hoãòc cuÞng có thêÒ ðýõòc xác ðiònh theo toaò ðôò µ § týõng týò nhý toaò ðôò ðiòa lý (µ §).

GiaÒ thiêìt trên mãòt câÌu có ðiêÒm A võìi toaò ðôò ðiòa lý cuÒa nó là µ §, chúng ta hãy tìm công thýìc tính toaò ðôò cýòc mãòt câÌu (z, a) cuÒa ðiêÒm A khi ðã biêìt toaò ðôò µ § cuÒa ðiêÒm cýòc Q. TýÌ tam giác cân PQA võìi các caònh µ §; µ § và các góc µ §, ta có các quan hêò:

µ § (16)

µ §

µ § (17)

2.2. Phân loaòi phép chiêìu baÒn ðôÌ

2.2.1. Khái niêòm

BaÒn ðôÌ hoòc ðã tìm ra râìt nhiêÌu phép chiêìu baÒn ðôÌ. Viêòc phân loaòi các phép chiêìu là râìt quan trong ðôìi viêòc hoòc tâòp, nghiên cýìu và sýÒ duòng chúng. Có nhiêìu cách phân loaòi, õÒ ðây chiÒ trình bày 2 phýõng pháp phân loaòi thông duòng nhâìt: phân loaòi theo tính châìt biêìn daòng và phân loaòi theo maòng lýõìi kinh, viÞ tuyêìn cuÒa phép chiêìu thãÒng (hay còn goòi là phép chiêìu ðýìng).

A- Phân loaòi phép chiêìu theo tính châìt biêìn daòng:

Theo tính châìt biêìn daòng thì các phép chiêìu ðýõòc phân thành 3 loaòi: các phép chiêìu ðôÌng góc, các phép chiêìu ðôÌng diêòn tích và các phép chiêìu týò do.

1- Các phép chiêìu ðôÌng góc: Trên phép chiêìu ðôÌng góc thì góc không có biêìn daòng µ § tiÒ lêò ðôò dài taòi môÞi ðiêÒm không phuò thuôòc vào phýõng hýõìng µ §. Trên các phép chiêìu ðôÌng góc thì tyÒ lêò diêòn tích là:

µ §

2- Các phép chiêìu ðôÌng diêòn tích: Trong phép chiêìu ðôÌng diêòn tích thì ðaÒm baÒo P là môòt triò sôì côì ðiònh taòi moòi ðiêÒm, týìc là:

µ §

thýõÌng lâìy: P=1, Khi ðó: µ §

Khi tính các triò sôì biêìn daòng góc lõìn nhâìt µ § ðôìi võìi các phép chiêìu ðôÌng diêòn tích thì dùng môòt trong hai công thýìc sau ðây là tiêòn lõòi nhâìt:

µ § hoãòc là µ §

Trên các phép chiêìu ðôÌng diêòn tích, do biêìn daòng góc lõìn cho nên các hình daòng biò biêìn daòng nhiêÌu.

3- Các phép chiêìu týò do: Các phép chiêìu không thuôòc nhóm ðôÌng góc và nhóm ðôÌng diêòn tích thì goòi là phép chiêìu týò do.

Trong sôì các phép chiêìu týò do thì ðáng chú ý các phép chiêìu ðôÌng khoaÒng cách. Phép chiêìu ðôÌng khoaÒng cách là nhýÞng phép chiêìu giýÞ cho tyÒ lêò ðôò dài không ðôÒi trên môòt trong các hýõìng chính týìc là a = 1 hoãòc b = 1. Khi ðó, tyÒ lêò diêòn tích là P = b hoãòc P = a.

ÐêÒ tính triò sôì biêìn daòng góc µ § trong các phép chiêìu týò do thýõÌng dùng công thýìc:

µ §

(1)

(3)

(5)

(7)

Nhý õÒ phâÌn trýõìc ðã chiÒ rõ, trên môòt phép chiêìu baÒn ðôÌ maòng lýõìi toaò ðôò nào ðó (lýõìi toaò ðôò ðiòa lý hoãòc môòt sôì maòng lýõìi toaò ðôò cýòc mãòt câÌu) ðýõòc biêÒu thiò ðõn giaÒn nhâìt thì ðýõòc goòi là maòng lýõìi chuâÒn. NhýÞng phép chiêìu mà maòng lýõìi các ðýõÌng kinh, viÞ tuyêìn ðiòa lý ðýõòc biêÒu thiò trong maòng lýõìi chuâÒn thì goòi là phép chiêìu thãÒng (hay goòi là phép chiêìu ðýìng).

Theo hình daòng cuÒa maòng lýõìi kinh viÞ tuyêìn trong maòng lýõìi chuâÒn (týìc là cuÒa phép chiêìu thãÒng) thì các phép chiêìu baÒn ðôÌ ðýõòc phân ra các loaòi sau ðây:

1- Các phép chiêìu hình nón:

Trên các phép chiêìu hình nón thãÒng thì các kinh tuyêìn ðýõòc biêÒu thiò thành nhýÞng ðýõÌng thãÒng giao nhau taòi môòt ðiêÒm dýõìi các góc tyÒ lêò thuâòn võìi hiêòu sôì kinh ðôò týõng ýìng; các viÞ tuyêìn là nhýÞng cung tròn có cùng tâm taòi giao ðiêÒm

cuÒa các kinh tuyêìn (hình 2.6).

Công thýìc toaò ðôò vuông góc cuÒa phép chiêìu hình nón là:

µ §

Trong tính toán các phép chiêìu thì kinh ðôò µ §

Hình 2.6: Phép chiêìu hình nón

ðýõòc xác ðiònh theo kinh tuyêìn gôìc là kinh tuyêìn trùng

võìi truòc tung x.

Hàm µ § ðýõòc xác ðiònh dýòa trên ðiêÌu kiêòn cho trýõìc (ðiêÌu kiêòn ðôÌng góc, ðiêÌu kiêòn ðôÌng diêòn tích hoãòc ðiêÌu kiêòn khác).

2- Các phép chiêìu hình truò

Trên các phép chiêìu hình truò thãÒng thì các kinh tuyêìn là nhýÞng ðýõÌng thãÒng song song, khoaÒng cách giýÞa các kinh tuyêìn tyÒ lêò thuâòn võìi hiêòu sôì kinh ðôò týõng ýìng; các viÞ tuyêìn là nhýÞng ðýõÌng thãÒng song song vuông góc võìi các

kinh tuyêìn (Hình 2.7).

Công thýìc toaò ðôò vuông góc cuÒa phép chiêìu hình truò thãÒng có daòng là:

µ §

Trong ðó: µ §, Hàm µ § ðýõòc xác ðiònh theo nhýÞng ðiêÌu kiêòn cho trýõìc.Hình 2.7:

3- Các phép chiêìu phýõng viò:

Trên các phép chiêìu phýõng viò thãÒng thì các kinh tuyêìn là nhýÞng ðýõÌng thãÒng giao nhau taòi 1 ðiêÒm dýõìi các góc bãÌng hiêòu sôì kinh ðôò týõng ýìng; các ðiêÒm kinh tuyêìn là nhýÞng vòng tròn có cùng tâm taòi giao ðiêÒm cuÒa các kinh tuyêìn (hình 2.8). Công thýìc toaò ðôò cýòc cuÒa phép chiêìu phýõng viò thãÒng là:

µ §

phýõng viò phôìi caÒnh.Hình 2.8:

Phép chiêìu phýõng viò
Các phép chiêìu hình nón giaÒ:

Trên các phép chiêìu hình nón giaÒ thì các viÞ tuyêìn là nhýÞng cung tròn ðôÌng tâm, kinh tuyêìn giýÞa là ðýõÌng thãÒng ði qua tâm cuÒa các kinh tuyêìn; các kinh tuyêìn khác là nhýÞng ðýõÌng cong ðôìi xýìng võìi nhau qua kinh tuyêìn giýÞa (hình 2.9).Hình 2.9 Tr 35_BG BaÒn ðôÌ hoòc

Công thýìc toaò ðôò cýòc cuÒa phép chiêìu hình nón giaÒ có daòng:

µ §

5- Phép chiêìu hình truò giaÒ:

Trên các phép chiêìu hình truò giaÒ thì các viÞ tuyêìn là nhýÞng ðýõÌng thãÒng song song, kinh tuyêìn giýÞa là ðýõÌng thãÒng vuông góc võìi các viÞ tuyêìn; các kinh tuyêìn khác là nhýÞng ðýõÌng cong ðôìi xýìng võìi nhau qua kinh tuyêìn giýÞa (hình 2.10).

Các công thýìc toòa ðôò vuông góc cuÒa phép chiêìu hình truò giaÒ là :

µ §

Maòng lýõìi kinh, viÞ tuyêìn cuÒa các phép chiêìu hình truò giaÒ thì không trýòc giao cho nên loaòi phép chiêìu này không có trýõÌng hõòp ðôÌng góc.

~H.13 Tr 36_BG BÐH

6- Các phép chiêìu nhiêÌu hình nón:

Trong các phép chiêìu nhiêÌu hình nón thì các viÞ tuyêìn là nhýÞng ðýõÌng cung tròn không cùng tâm, tâm cuÒa các viÞ tuyêìn õÒ trên kinh tuyêìn giýÞa là ðýõÌng thãÒng; các kinh tuyêìn khác là nhýÞng ðýõÌng cong ðôìi xýìng võìi nhau qua kinh tuyêìn giýÞa (hình 2.11).

Nêìu lâìy ðýõÌng thãÒng ði qua các tâm viÞ tuyêìn làm truòc tung thì các công thýìc cõ baÒn cuÒa phép chiêìu nhiêÌu hình nón có daòng là:

µ § Hình 2.11

~ h.14 Tr 36_BG BÐH

Trong ðó µ § chính là tung ðôò cuÒa tâm viÞ tuyêìn.

7- Các phép chiêìu cung tròn:

Trên các phép chiêìu này, các viÞ tuyêìn là nhýÞng cung tròn không cùng tâm, tâm các viÞ tuyêìn õÒ trên kinh tuyêìn giýÞa là ðýõÌng thãÒng, các kinh tuyêìn khác là nhýÞng cung tròn ðôìi xýìng võìi nhau qua kinh tuyêìn giýÞa. Các công thýìc toaò ðôò vuông góc cuÒa phép chiêìu này có daòng:

µ §

Trýõìc hêìt công thýìc trên phaÒi thoaÒ màn ðiêÌu kiêòn là khi µ § ta ðýõòc phýõng trình cuÒa ðýõÌng tròn và khi µ § thì cuÞng là phýõng trình cuÒa cung tròn.

8- Phép chiêìu phýõng viò giaÒ:

Trên phép chiêìu phýõng viò giaÒ thì các viÞ tuyêìn là các vòng tròn ðôÌng tâm, các kinh tuyêìn là nhýÞng ðýõÌng cong, trýÌ hai kinh tuyêìn là ðýõÌng thãÒng vuông góc võìi nhau và là hai truòc ðôìi xýìng cuÒa phép chiêìu (hình 2.12)Hình 2.12 ~ H.15 Tr 37 _BG BÐH

Các công thýìc cuÒa toòa ðôò cýòc cuÒa phép chiêìu phýõng viò giaÒ có daòng là:

µ §

9- Các phép chiêìu khác:

C- Phân loaòi các phép chiêìu theo viò trí cuÒa maòng lýõìi chuâÒn so võìi maòng lýõìi cõ sõÒ:

Theo viò trí cuÒa maòng lýõìi chuâÒn, phân ra 3 nhóm phép chiêìu:

1- Các phép chiêìu thãÒng: Trên các phép chiêìu thãÒng thì maòng lýõìi chuâÒn trùng võìi maòng lýõìi cõ sõÒ, khi ðó viÞ ðôò ðiêÒm cýòc Q cuÒa maòng lýõìi chuâÒn là µ §.

2- Các phép chiêìu ngang: Trên các phép chiêìu này thì maòng lýõìi chuâÒn có ðiêÒm cýòc õÒ trên xích ðaòo ðiòa lý µ §.

3- Các phép chiêìu nghiêng: Trên các phép chiêìu nghiêng thì viò trí ðiêÒm cýòc cuÒa Q maòng lýõìi chuâÒn là môòt ðiêÒm nào ðó không thuôòc hai trýõÌng hõòp trên, týìc là µ §.

Nhý vâòy ðôìi võìi môÞi loaòi phép chiêìu ðã trình bày õÒ muòc II thì ðêÌu bao gôÌm các phép chiêìu thãÒng, các phép chiêìu ngang và các phép chiêìu nghiêng. Ví duò, ðôìi võìi loaòi phép chiêìu hình truò ðýõòc phân ra: các phép chiêìu truò thãÒng, các phép chiêìu truò ngang và các phép chiêìu truò nghiêng.

Trên các phép chiêìu nghiêng hoãòc ngang thì maòng lýõìi các vòng thãÒng ðýìng và các vòng ðôÌng cao cuÒa hêò toaò ðôò cýòc mãòt câÌu nghiêng hoãòc ngang mà ta choòn seÞ ðýõòc biêÒu thiò trong maòng lýõìi chuâÒn, týìc là týõng týò nhý các ðýõÌng kinh tuyêìn và các viÞ tuyêìn trên phép chiêìu thãÒng týõng ýìng.

2.2.2. Các phép chiêìu hình nón

a. Công thýìc chung cuÒa phép chiêìu hình nón

Trên các phép chiêìu hình nón thãÒng thì các kinh tuyêìn ðýõòc biêÒu thiò thành nhýÞng ðýõÌng thãÒng giao nhau taòi môòt ðiêÒm dýõìi các góc tyÒ lêò thuâòn võìi hiêòu sôì kinh ðôò týõng ýìng, các viÞ tuyêìn là nhýÞng cung tròn có cùng tâm taòi giao ðiêÒm cuÒa các kinh tuyêìn.

Lâìy tâm cuÒa các viÞ tuyêìn làm gôìc toaò ðôò cýòc, lâìy ðýõÌng thãÒng trùng võìi kinh tuyêìn giýÞa làmtruòc toaò ðôò cýòc và ðôÌng thõÌi làm truòc tung x cuÒa hêò toaò ðôò vuông góc (hình 2.13).

Hình 2.13

Công thýìc toaò ðôò cýòc có daòng: µ § (18)

Trong ðó: µ §

µ §- góc õÒ cýòc

µ §- bán kính véctõ, ðôÌng thõÌi cuÞng là bán kính cuÒa viÞ tuyêìn viÞ ðôò µ § trên phép chiêìu

Công thýìc toaò ðôò vuông góc có daòng:

µ § µ § (19)

Trong ðó µ § là bán kính cuÒa viÞ tuyêìn giõìi haòn phía nam cuÒa lãnh thôÒ lâòp baÒn ðôÌ.

TýÌ (19), có các ðaòo hàm riêng:

µ §

µ §

µ § và µ §

Trên phép chiêìu hình nón thãÒng thì maòng lýõìi kinh viÞ tuyêìn trýòc giao (µ §) do ðó các hýõìng kinh tuyêìn và viÞ tuyêìn ðòng thõÌi cuÞng là phýõng hýõìng chính. Taòi môÞi ðiêÒm, các tyÒ lêò ðôò dài m trên kinh tuyêìn và n trên viÞ tuyêìn là các tyÒ lêò ðôò dài cýòc triò.

Công thýìc tính tyÒ lêò diêòn tích:

P= m.n

Công thýìc tính biêìn daòng góc: µ §

TýÌ các công thýìc trên chúng ta nhâòn thâìy, các ðaòi lýõòng m, P và µ § thay ðôÒi chiÒ phuò thuôòc vào viÞ ðôò µ §. ÐiêÌu ðó chýìng toÒ rãÌng các ðýõÌng ðôÌng biêìn daòng trùng võìi các viÞ tuyêìn trên phép chiêìu.

Các phép chiêìu hình nón thãÒng ðýõòc sýÒ duòng rôòng rãi ðêÒ làm các baÒn ðôÌ tyÒ lêò trung bình và nhoÒ ðôìi võìi nhýÞng lãnh thôÒ daòng kéo dài theo hýõìng viÞ tuyêìn.

b. Các phép chiêìu hình nón ðôÌng góc

Ta ðã biêìt rãÌng, trên các phép chiêìu ðôÌng góc (µ §) thì tyÒ lêò ðôò dài taòi moòi ðiêÒm không phuò thuôòc vào phýõng hýõìng, týìc là:µ §. Hàm µ § cuÒa phép chiêìu hình nón ðôÌng góc ðýõòc xác ðiònh týÌ ðiêÌu kiêòn m = n týìc là:

µ §

Tích phân 2 vêì cuÒa phýõng trình trên:

µ §

Thay µ § và µ §, ta có: µ §

Khi ðó : µ §

Sau khi tích phân ta có: µ §

Do ðó: µ §

Trong ðó: K là hãÌng sôì tích phân, nó cuÞng chính là bãÌng bán kính µ § cuÒa xích ðaòo trên phép chiêìu.

Và: µ §

µ § (20)

µ § và do ðó µ §

Trong các công thýìc trên có 2 thông sôì µ § và K. Các thông sôì này aÒnh hýõÒng ðêìn triò sôì biêìn daòng và phân bôì biêìn daòng cuÒa phép chiêìu. ÐêÒ lýòa choòn ðýõòc các thông sôì thích hõòp thì phaÒi dýòa trên cõ sõÒ quy luâòt biêìn thiên cuÒa hàm µ §.

TýÌ hàm trên ta có: µ §

Mà: µ §

Vâòy: µ §

µ §

TýÌ ðaòo hàm câìp hai

µ §

Thay µ § ta có:

Do ðó, taòi viÞ ðôò µ § thì tyÒ lêò ðôò dài no là nhoÒ nhâìt.

Có nhiêÌu phýõng pháp xác ðiònh các hãÌng sôì µ § và K. Dýõìi ðây giõìi thiêòu 3 phýõng án:

Phýõng án1: Xác ðiònh các thông sôì µ § và K sao cho trên viÞ ðôò µ § cho trýõìc thì tyÒ lêò ðôò dài là no= 1 và là nhoÒ nhâìt.

Vì theo ðiêÌu kiêòn ðã cho, µ § là viÞ ðôò mà taòi ðó tyÒ lêò ðôò dài là nhoÒ nhâìt, týÌ công thýìc (21) ta có:

µ §

Theo phýõng án này thì trên phép chiêìu hình nón ðôÌng góc có môòt viÞ tuyêìn chuâÒn, taòi moòi ðiêÒm trên ðó hoàn toàn không có biêìn daòng, ðó là viÞ tuyêìn có viÞ ðôò µ § cho trýõìc. Càng xa viÞ tuyêìn chuâÒn, vêÌ caÒ 2 phía, thì biêìn daòng càng tãng.

Phýõng án 2: Xác ðiònh các thông sôì µ § và K sao cho trên các viÞ tuyêìn có viÞ ðôò µ § và µ § cho trýõìc thì có tyÒ lêò ðôò dài là: n1 = n2 = 1.

TýÌ ðiêÌu kiêòn µ §, týìc là:

µ §

Do ðó: µ §

µ §

Phýõng án 3: Xác ðiònh các thông sôì µ § và K sao cho trên các viÞ tuyêìn biên µ § và µ § cuÒa lãnh thôÒ baÒn ðôÌ thì có hai tyÒ lêò ðôò dài bãÌng nhau và triò sôì nghiòch ðaÒo tyÒ lêò ðôò dài nhoÒ nhâìt, týìc là µ §

TýÌ ðiêÌu kiêòn µ § týìc là:

µ §

TýÌ ðiêÌu kiêòn µ § và µ §, ta có: µ § và µ §

Do ðó: µ §

Theo phýõng án này thì trên phép chiêìu cuÞng có 2 viÞ tuyêìn chuâÒn. Viò trí cuÒa các viÞ tuyêìn chuâÒn phuò thuôòc vào viò trí cuÒa các viÞ tuyêìn biên µ § và µ §. Sýò phân bôì biêìn daòng trong phýõng án này thì cuÞng týõng týò nhý õÒ phýõng án 2.

Phép chiêìu hình nón thãÒng ðôÌng góc thýõÌng ðýõòc dùng ðêÒ thành lâòp các baÒn ðôÌ tyÒ lêò trung bình và nhoÒ. Nó thích hõòp nhâìt ðôìi võìi nhýÞng lãnh thôÒ có viÞ ðôò trung bình và có daòng kéo dài theo hýõìng viÞ tuyêìn.

c. Các phép chiêìu hình nón thãÒng ðôÌng diêòn tích

Ta ðã biêìt công thýìc tính tyÒ lêò diêòn tích cuÒa phép chiêìu hình nón là µ §. Trên phép chiêìu ðôÌng diêòn tích thì tyÒ lêò diêòn tích là môòt triò sôì không thay ðôÒi: µ §, trong trýõÌng hõòp riêng P = 1.

Vì µ §, ta có phýõng trình vi phân:

µ §

Tích phân phýõng trình trên ta ðýõòc:

Hay là: µ §

Trong ðó: c- hãÌng sôì tích phân

µ § bãÌng diêòn tích cuÒa hình thang trên mãòt elipxôit có hiêòu sôì kinh ðôò là: radian, theo viÞ ðôò thì kéo dài týÌ xích ðaòo ðêìn viÞ ðôò µ §, ðôìi võìi mãòt câÌu thì µ §