II. hai đƯỜng thẳng song song vấN ĐỀ 1: Chứng minh hai đường thẳng song song

Trần Sĩ Tùng Hình học 11

1. 
   Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ABD. Chứng minh IJ//CD.
   
2. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB.
   

b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh SI // AB // CD. Tứ giác SABI là hình gì?

3. 
   Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
   

b) Từ đó suy ra ba đoạn MN, PQ, RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

4. 
   Cho tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (P). Gọi Bx, Cy là hai nửa đường thẳng song song và nằm về cùng một phía đối với (P). M, N là hai điểm di động lần lượt trên Bx, Cy sao cho CN = 2BM.
   

b) E thuộc đoạn AM và EM = EA. IE cắt AN tại F. Gọi Q là giao điểm của BE và CF. CMR AQ song song với Bx, Cy và (QMN) chứa 1 đường thẳng cố định khi M, N di động.

5. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN // BS, NP // CD, MQ // CD.
   

b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh: SK // AD // BC.

c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx // SC và Qy // SB. Tìm giao điểm của Qx với (SAB) và của Qy với (SCD).
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp:

 Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng.

 Áp dụng định lí về giao tuyến để tìm phương của giao tuyến.

Giao tuyến sẽ là đường thẳng qua điểm chung và song song với đường thẳng ấy.

1. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD, BC và G là trọng tâm của SAB.
   

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJG). Thiết diện là hình gì? Tìm điều kiện đối với AB và CD để thiết diện là hình bình hành.

2. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, SAD. M là trung điểm của CD. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (IJM).
   
3. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD, SBC.
   

b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

HD: b) (a+b).

4. 
   Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC, BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB = 2KD.
   

b) Tính diện tích thiết diện đó.

HD: b)

5. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, tâm O. Mặt bên SAB là tam giác đều. Ngoài ra = 90⁰. Gọi Dx là đường thẳng qua D và song song với SC.
   

b) Tìm thiết diện của hình chóp SABCD với mp(AIC). Tính diện tích thiết diện.

HD: b) Tam giác AMC với M là trung điểm của SD. Diện tích

1. 
   Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
   

b) M, N là 2 điểm lần lượt trên hai cạnh AE, BD sao cho AM = AE, BN = BD. Chứng minh MN // (CDFE).

2. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
   

b) Gọi P là trung điểm của SA. Chứng minh SB, SC đều song song với (MNP).

c) Gọi G₁, G₂ là trọng tâm của các tam giác ABC, SBC. Chứng minh G₁G₂ // (SBC).

3. 
   Cho tứ diện ABCD. G là trọng tâm của ABD. M là 1 điểm trên cạnh BC sao cho MB = 2MC. Chứng minh MG // (ACD).
   

4. 
   Cho tứ diện ABCD. Gọi O, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng:
   

b) Điều kiện cần và đủ để OO song song với 2 mặt phẳng (BCD), (ACD)

là BC = BD và AC = AD.

HD: Sử đụng tính chất đường phân giác trong tam giác.

5. 
   Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD và G là trung điểm của đoạn MN.
   

b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA và Mx cắt (BCD) tại M. Chứng minh B, M, A thẳng hàng và BM = MA = AN.

c) Chứng minh GA = 3GA.
VẤN ĐỀ 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Phương pháp: Tìm phương của giao tuyến. Từ đó xác định thiết diện của hình chóp tạo bởi mặt phẳng song song với một hoặc hai đường thẳng cho trước.

1. 
   Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SA.
   

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).

c) Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

HD: c) MN // BC

2. 
   Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông tại A, = 60⁰, AB = a. Gọi O là trung điểm của BC. Lấy điểm S ở ngoài (P) sao cho SB = a và SB  OA. Gọi M là 1 điểm trên cạnh AB. Mặt phẳng (Q) qua M và song song với SB và OA, cắt BC, SC, SA lần lượt tại N, P, Q. Đặt x = BM (0 < x < a).
   

b) Tính diện tích hình thang đó. Tìm x để diện tích lớn nhất.

= . S

đạt lớn nhất khi x =

3. 
   Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trên SB, CD. Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC.
   

b) Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (P).

4. 
   Cho tứ diện ABCD có AB = a, CD = b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) đi qua một điểm M trên đoạn IJ và song song với AB và CD.
   

b) Xác định thiết diện của tứ diện ABCD với (P).

5. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. Gọi C là trung điểm của SC, M là 1 điểm di động trên cạnh SA. Mặt phẳng (P) di động luôn đi qua CM và song song với BC.
   

b) Xác định thiết diện mà (P) cắt hình chóp SABCD. Xác định vị trí điểm M để thiết diện là hình bình hành.

c) Tìm tập hợp giao điểm của 2 cạnh đối của thiết diện khi M di động trên cạnh SA.

HD: a) Đường thẳng qua C và song song với BC.

b) Hình thang. Hình bình hành khi M là trung điểm của SA.

c) Hai nửa đường thẳng.

IV. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG
VẤN ĐỀ 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song

Phương pháp: Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng trong mặt phẳng kia.

1. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD.
   

b) Gọi P, Q là trung điểm của AB, ON. Chứng minh PQ // (SBC).

2. 
   Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J là hai điểm di động lần lượt trên các cạnh AD, BC sao cho luôn có: .
   

b) Tìm tập hợp điểm M chia đoạn IJ theo tỉ số k cho trước.

3. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và CD.
   

b) Gọi I là trung điểm của SD, J là một điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ song song (SAB).

c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC đều cân tại A. Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của các tam giác ACD và SAB. Chứng minh EF // (SAD).

HD: c) Chú ý:

4. 
   Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho: AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M, N.
   

b) Chứng minh: (DEF) // (MNNM).

c) Gọi I là trung điểm của MN, tìm tập hợp điểm I khi M, N di động.

HD: c) Trung tuyến tam giác ODE vẽ từ O.

5. 
   Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By. M và N là hai điểm di động lần lượt trên Ax, By sao cho AM = BN. Vẽ .
   

b) Gọi I là trung điểm của MN. CMR I nằm trên 1 đường thẳng cố định khi M, N di động.

6. 
   Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD. CMR các đường phân giác ngoài của các góc đồng phẳng.
   

1. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành tâm O với AC = a, BD = b. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) di động luôn song song với mp(SBD) và đi qua điểm I trên đoạn AC.
   

b) Tính diện tích thiết diện theo a, b và x = AI.

b)

2. 
   Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Tam giác ABC nằm trong (P) và đoạn thẳng MN nằm trong (Q).
   

b) Tìm giao tuyến của (MAB) và (NAC).

3. 
   Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Cz, Dt không nằm trong (ABCD). Một mặt phẳng (P) cắt bốn nửa đường thẳng tại A, B, C, D.
   

b) Chứng minh ABCD là hình bình hành.

c) Chứng minh: AA + CC = BB + DD.

4. 
   Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁, G₂, G₃ lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ADB.
   

b) Tìm thiết diện của tứ diện ABCD với mp(G₁G₂G₃). Tính diện tích thiết diện khi biết diện tích tam giác BCD là S.

c) M là điểm di động bên trong tứ diện sao cho G₁M luôn song song với mp(ACD). Tìm tập hợp những điểm M.

HD: b)

5. 
   Cho lăng trụ ABC.ABC. Gọi H là trung điểm của AB.
   

b) Tìm giao điểm của AC với (BCH).

c) Mặt phẳng (P) qua trung điểm của CC và song song với AH và CB. Xác định thiết diện và tỉ số mà các đỉnh của thiết diện chia cạnh tương ứng của lăng trụ.

HD: c) M, N, P, Q, R theo thứ tự chia các đoạn CC, BC, AB, AB, AC theo các tỉ số 1, 1, 3, , 1.

6. 
   Cho hình hộp ABCD.ABCD.
   

b) Chứng minh đường chéo AC đi qua các trọng tâm G₁, G₂ của 2 tam giác BDA, BDC. Chứng minh G₁, G₂ chia đoạn AC làm ba phần bằng nhau.

c) Xác định thiết diện của hình hộp cắt bởi mp(ABG₂). Thiết diện là hình gì?

HD: c) Hình bình hành.

7. 
   Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. Trên AB, CC, CD, AA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ = x (0  x  a).
   

b) Chứng minh mp(MNPQ) luôn chứa 1 đường thẳng cố định.

Tìm x để (MNPQ) // (ABC).

c) Dựng thiết diện của hình lập phương cắt bởi (MNPQ). Thiết diện có đặc điểm gì? Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của chu vi thiết diện.

b) (MNPQ) đi qua trung điểm R, S của BC và AD. x = .

Chu vi nhỏ nhất: 3a; chu vi lớn nhất: 2a(+ 1).

8. 
   Cho lăng trụ ABC.ABC.
   

b) Gọi M, N lần lượt là 2 điểm bất kì trên AA và BC. Tìm giao điểm của BC với mặt phẳng (AAN) và giao điểm của MN với mp(ABC).

9. 
   Cho lăng trụ ABC.ABC. Chứng minh rằng các mặt phẳng (ABC), (BCA) và (CAB) có một điểm chung O ở trên đoạn GG nối trọng tâm ABC và trọng tâm ABC. Tính . HD:
   

1. 
   Cho tứ diện ABCD có AB = 2a, tam giác BCD vuông tại C có BD = 2a, BC = a. Gọi E là trung điểm của BD. Cho biết .
   

b) (P) là 1 mặt phẳng song song với AB và CE, cắt các cạnh BC, BD, AE, AC theo thứ tự tại M, N, P, Q. Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và x = BM (0 < x < a). Xác định x để diện tích ấy lớn nhất.

c) Tìm x để tổng bình phương các đường chéo của MNPQ là nhỏ nhất.

d) Gọi O là giao điểm của MP và NQ. Tìm (P) để OA² + OB² + OC² + OD² nhỏ nhất.

HD: a) Gọi F là trung điểm của AD.

Xét  2AC² – AD² = 6a² hoặc –2a².

b) S = x(a – x) c) x =

d) OA² + OB² + OC² + OD² = 4OG² + GA² + GB² + GC² + GD².

O di động trên đoạn IJ nối trung điểm của AB và CE. Tổng nhỏ nhất khi O là hình chiếu của G lên IJ ( G là trọng tâm tứ diện ABCD).

2. 
   Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Mặt phẳng (P) qua IJ cắt các cạnh AB, AC, DC, DB tại M, N, P, Q.
   

b) Đặt AM = x, AN = y. CMR: a(x + y) = 3xy. Suy ra: .

c) Tính diện tích tứ giác MNPQ theo a và s = x + y.

HD: b) S_AMN = S_AMI + S_ANI c) .

3. 
   Cho hình chóp S.ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E, AD và BC cắt nhau tại F, AC và BD cắt nhau tại G. Mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC lần lượt tại A, B, C.
   

b) Tìm điều kiện của (P) để AB // CD.

c) Với điều kiện nào của (P) thì ABCD là hình bình hành? CMR khi đó:

d) Tính diện tích tứ giác ABCD.

c) (P) // (SEF). Gọi G = ACBD. Chứng minh:

d) S_{ABCD} = .

4. 
   Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng chéo nhau d₁, d₂ cắt (P) tại A và B. Đường thẳng () thay đổi luôn song song với (P), cắt d₁ tại M, d₂ tại N. Đường thẳng qua N và song song d1 cắt (P) tại N.
   

b) Xác định vị trí của () để MN có độ dài nhỏ nhất.

c) Gọi O là trung điểm của AB, I là trung điểm của MN. Chứng minh OI là đường thẳng cố định khi M di động.

d) Tam giác BMN vuông cân đỉnh B và BM = a. Tính diện tích thiết diện của hình chóp B.AMNN với mặt phẳng qua O và song song với mặt phẳng (BMN).

d)

5. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình bình hành. M và P là hai điểm lần lượt di động trên AD và SC sao cho: (x > 0).
   

b) Tìm giao điểm I của (SBD) với MP.

c) Mặt phẳng qua M và song song với (P) cắt hình chóp SABCD theo một thiết diện và cắt BD tại J. Chứng minh IJ có phương không đổi. Tìm x để PJ song song với (SAD).

d) Tìm x để diện tích thiết diện bằng k lần diện tích SAB (k > 0 cho trước).

d) x = (0 < k < 1).

6. 
   Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O. SA = SB = SC = SD = a. Gọi M là một điểm trên đoạn AO. (P) là mặt phẳng qua M và song song với AD và SO. Đặt (0 < k < 1).
   

b) Tính các cạnh của thiết diện theo a và k.

c) Tìm k để thiết diện trên ngoại tiếp được 1 đường tròn. Khi đó hãy tính diện tích thiết diện theo a.

HD: b) a; (1 – k)a; c) k=

7. 
   Cho lăng trụ ABC.ABC. Gọi M, N, P là 3 điểm lần lượt nằm trên 3 đoạn AB, AC, BC sao cho .
   

b) Tìm tập hợp trung điểm của NP khi x thay đổi.

HD: a) x = b) Đoạn thẳng nối trung điểm của CC và AB.

8. 
   Cho lăng trụ ABCD.ABCD, có đáy là hình thang với AD = CD = BC = a, AB = 2a Mặt phẳng (P) qua A cắt các cạnh BB, CC, DD lần lượt tại M, N, P.
   

b) Tìm tập hợp giao điểm của AN và MP khi (P) di động.

c) DP = .