Ngô Thị Chương songngam_25a@yahoo.com
I.CÁC BÀI TOÁN VỀ : “ PHÉP NHÂN TRÀN MÀN HÌNH ”
Bài 1:
Tính chính xác tổng S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16!.
Giải:
Vì n . n! = (n + 1 – 1).n! = (n + 1)! – n! nên:
S = 1.1! + 2.2! + 3.3! + 4.4! + ... + 16.16! = (2! – 1!) + (3! – 2!) + ... + (17! – 16!)
S = 17! – 1!.
Không thể tính 17! bằng máy tính vì 17! Là một số có nhiều hơn 10 chữ số (tràn màn hình). Nên ta tính theo cách sau:
Ta biểu diễn S dưới dạng: a.10n + b với a, b phù hợp để khi thực hiện phép tính, máy không bị tràn, cho kết quả chính xác.
Ta có: 17! = 13! . 14 . 15 . 16 . 17 = 6 227 020 800 . 57 120
Lại có: 13! = 6 227 020 800 = 6227 . 106 + 208 . 102 nên
S = (6227 . 106 + 208 . 102) . 5712 . 10 – 1
= 35 568 624 . 107 + 1 188 096 . 103 – 1 = 355 687 428 096 000 – 1
= 355 687 428 095 999.
Bài 2:
Tính kết quả đúng của các tích sau:
-
M = 2222255555 . 2222266666.
-
N = 20032003 . 20042004.
Giải:
-
Đặt A = 22222, B = 55555, C = 666666.
Ta có M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + AB.105 + AC.105 + BC
Tính trên máy:
A2 = 493817284 ; AB = 1234543210 ; AC = 1481451852 ; BC = 3703629630
Tính trên giấy:
A2.1010
|
4
|
9
|
3
|
8
|
1
|
7
|
2
|
8
|
4
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
AB.105
|
|
|
|
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
4
|
3
|
2
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
AC.105
|
|
|
|
|
1
|
4
|
8
|
1
|
4
|
5
|
1
|
8
|
5
|
2
|
0
|
0
|
0
|
0
|
0
|
BC
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3
|
7
|
0
|
3
|
6
|
2
|
9
|
6
|
3
|
0
|
M
|
4
|
9
|
3
|
8
|
4
|
4
|
4
|
4
|
4
|
3
|
2
|
0
|
9
|
8
|
2
|
9
|
6
|
3
|
0
| -
Đặt X = 2003, Y = 2004. Ta có:
N = (X.104 + X) (Y.104 + Y) = XY.108 + 2XY.104 + XY
Tính XY, 2XY trên máy, rồi tính N trên giấy như câu a)
Kết quả:
M = 4 938 444 443 209 829 630.
N = 401 481 484 254 012.
Bài 3: Cho đa thức Q(x) = (3x2 + 2x – 7 )64.
Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị.
Giải
Tổng các hệ số của đa thức Q(x) chính là giá trị của đa thức tại x = 1.
Gọi tổng các hệ số của đa thức là A, ta có:
A = Q(1) = (3 + 2 – 7)64 = 264.
Ta có 264 = (232)2 = (4294967296)2.
Đặt X = 42949; Y = 67296.
Khi đó A = (X. 105 + Y)2 = X2.1010 + 2.X.Y.105 + Y2.
Lập bảng tính trên giấy như bài 2.
ĐS: A = 18 446 744 073 709 551 616
Bài tập tương tự:
Tính chính xác các phép tính sau:
-
A = 20!.
-
13032006.13032007 ĐS: 52 293 416 042
-
B = 5555566666 . 6666677777
-
C = 20072007 . 20082008
-
10384713 ĐS: 1 119 909 991 289 361 111
-
201220032
II. TÌM SỐ DƯ CỦA PHÉP CHIA SỐ NGUYÊN
a) Số bị chia là số bình thường có số chữ số bé hơn 10 chữ số:
Số bị chia = số chia . thương + số dư (a = bq + r) (0 < r < b)
Suy ra r = a – b . q
Ví dụ: Tìm số dư trong các phép chia sau:
-
9124565217 cho 123456 ĐS: 55713
-
987896854 cho 698521 ĐS: 188160
b) Số bị chia là số bình thường có số chữ số lớn hơn 10 chữ số:
Phương pháp:
Tìm số dư của A khi chia cho B ( A là số có nhiều hơn 10 chữ số)
-
Cắt ra thành 2 nhóm, nhóm đầu có chín chữ số (kể từ bên trái). Tìm số dư phần đầu khi chia cho B.
-
Viết liên tiếp sau số dư phần còn lại (tối đa đủ 9 chữ số) rồi tìm số dư lần hai. Nếu còn nữa tính liên tiếp như vậy.
Ví dụ: Tìm số dư của phép chia 2345678901234 cho 4567.
Ta tìm số dư của phép chia 234567890 cho 4567: Được kết quả số dư là : 2203
Tìm tiếp số dư của phép chia 22031234 cho 4567.
Kết quả số dư cuối cùng là 26.
Bài tập: Tìm số dư của các phép chia:
-
983637955 cho 9604325 ĐS: 3996805
-
903566896235 cho 37869. ĐS: 21596
-
1234567890987654321 : 123456 ĐS: 8817
c) Số bị chia được cho bằng dạng lũy thừa quá lớn
Phương pháp: Dùng kiến thức về đồng dư để tìm số dư.
* Phép đồng dư:
+ Định nghĩa: Nếu hai số nguyên a và b chia cho c (c khác 0) có cùng số dư ta nói a đồng dư với b theo modun c ký hiệu
+ Một số tính chất: Với mọi a, b, c thuộc Z+
Ví dụ 1: Tìm số dư của phép chia 126 cho 19
Giải:
Vậy số dư của phép chia 126 cho 19 là 1
Ví dụ 2: Tìm số dư của phép chia 2004376 cho 1975
Giải:
Biết 376 = 62 . 6 + 4
Ta có:
Vậy
Kết quả: Số dư của phép chia 2004376 cho 1975 là 246
Bài tập thực hành:
Tìm số dư của phép chia:
-
138 cho 27 ĐS: 25
-
2514 cho 65 ĐS: 40
-
197838 cho 3878. ĐS: 744
-
20059 cho 2007 ĐS: 1495
-
715 cho 2001 ĐS: 1486
III. TÌM CHỮ SỐ HÀNG ĐƠN VỊ, HÀNG CHỤC, HÀNG TRĂM... CỦA MỘT LUỸ THỪA:
Phương pháp:
-
Tìm chữ số hàng đơn vị thì tìm đồng dư mod 10.
-
Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 100 rồi chọn chữ số hàng chục.
-
Tìm chữ số hàng trăm thì tìm đồng dư mod 1000 rồi chọn chữ số hàng trăm.
Bài 1: Tìm chữ số hàng đơn vị của số 172002
Giải:
Vậy . Chữ số tận cùng của 172002 là 9
Bài 2: Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm của số 232005.
Giải
+ Tìm chữ số hàng chục của số 232005
Do đó:
Vậy chữ số hàng chục của số 232005 là 4 (hai chữ số tận cùng của số 232005 là 43)
+ Tìm chữ số hàng trăm của số 232005
Vậy chữ số hàng trăm của số 232005 là số 3 (ba chữ số tận cùng của số 232005 là số 343).
Bài 3: Tìm chữ số hàng đơn vị của số A = 1032006.
Giải
Bài 4: Tìm chữ số tận cùng của 72005.
Giải
Có
Vậy chữ số tận cùng của 72005 là 7.
Bài 5: Tìm chữ số hàng trăm của P = 292007.
Giải
Vậy chữ số hàng trăm của 292007 là 3.
IV. TÌM BCNN, ƯCLN
Phương pháp: Máy tính cài sẵn chương trình rút gọn phân số thành phân số tối giản .
Tá áp dụng chương trình này để tìm UCLN, BCNN như sau:
+ ƯCLN (A; B) = A : a
+ BCNN (A; B) = A . b
ƯCLN(A; B; C) = ƯCLN[ƯCLN(A; B); C]
BCNN( A; B; C) = BCNN[BCNN(A; B); C]
Ví dụ 1: Tìm ƯCLN và BCNN của 2419580247 và 3802197531
HD: Ghi vào màn hình: và ấn =, màn hình hiện
ƯCLN: 2419580247 : 7 = 345654321
BCNN: 2419580247 . 11 = 2.661538272 . 1010 (tràn màn hình)
Cách tính đúng: Đưa con trỏ lên dòng biểu thức xoá số 2 để chỉ còn 419580247. 11
Kết quả: BCNN: 4615382717 + 2.109 . 11 = 26615382717
Ví dụ 2: Tìm ƯCLN của 40096920; 9474372 và 51135438
Giải:
Ấn 9474372 40096920 = ta được : 6987 29570.
ƯCLN của 9474372 và 40096920 là 9474372 : 6987 = 1356.
Ta đã biết ƯCLN(a; b; c) = ƯCLN(ƯCLN(a ; b); c)
Do đó chỉ cần tìm ƯCLN(1356 ; 51135438).
Thực hiện như trên ta tìm được:
ƯCLN của 40096920 ; 9474372 và 51135438 là : 678
Bài tập:
Cho 3 số 1939938; 68102034; 510510.
-
Hãy tìm ƯCLN của 1939938; 68102034. ĐS: 102102
-
Hãy tìm BCNN của 68102034; 510510. ĐS: 340510170
-
Gọi B là BCNN của 1939938 và 68102034. Tính giá trị đúng của B2.
V. ĐỔI SỐ THẬP VÔ HẠN TUẦN HOÀN RA PHÂN SỐ
Tổng quát:
Ghi nhớ: ...
Ví dụ 1: Phân số nào sinh ra số thập phân tuần hoàn sau:
-
0,(123)
-
7,(37)
-
5,34(12)
Giải:
a) Cách 1:
Ta có 0,(123) = 0,(001).123 =
Cách 2:
Đặt a = 0,(123)
Ta có 1000a = 123,(123) . Suy ra 999a = 123. Vậy a =
Các câu b,c (tự giải)
Ví dụ 2: Phân số nào đã sinh ra số thập phân tuần hoàn 3,15(321)
Giải:
Đặt 3,15(321) = a.
Hay 100.000 a = 315321,(321) (1)
100 a = 315,(321) (2)
Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta có 999000a = 315006
Vậy
Bài 3: Tính
Giải
Đặt 0,0019981998... = a.
Ta có:
Trong khi đó : 100a = 0,19981998... = 0,(0001) . 1998 =
Vậy A =
Bài 4: Cho .
Chứng tỏ rằng A là một số tự nhiên. Tìm A.
Giải
Đặt A1 =0,(2007) = 0,20072007…
10000A1 = 2007,(2007) = 2007 + A1
9999A1 = 2007.
Đặt A2 = 0,0(2007) =
A3 = 0,00(2007) =
Vậy A = 123321 nên A là một số tự nhiên.
Bài 5: Cho
Số nào sau đây là ước nguyên tố của số đã cho 2, 3, 5, 7, 11.
Giải như bài 3 tìm được A = 1111 = 11.101
Suy ra trong các số đã cho thì 11 là ước nguyên tố của số A.
VI. TÍNH SỐ LẺ THẬP PHÂN THỨ N SAU DẤU PHẨY.
Ví dụ 1:
Tìm chữ số lẻ thập phân thứ 105 của phép chia 17 : 13
Giải:
Bước 1:
+ Thực hiện phép chia 17 : 13 = 1.307692308 (thực chất máy đã thực hiện phép tính rồi làm tròn và hiển thị kết quả trên màn hình)
Ta lấy 7 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân là: 3076923
+ Lấy 1,3076923 . 13 = 16,9999999
17 - 16,9999999 = 0,0000001
Vậy 17 = 1,3076923 . 13 + 0.0000001
(tại sao không ghi cả số 08)??? Không lấy chữ số thập cuối cùng vì máy có thể đã làm tròn. Không lấy số không vì
17 = 1,30769230 . 13 + 0,0000001= 1,3076923 . 13 + 0,0000001
Bước 2:
+ lấy 1: 13 = 0,07692307692
11 chữ số ở hàng thập phân tiếp theo là: 07692307692
Vậy ta đã tìm được 18 chữ số đầu tiên ở hàng thập phân sau dấu phẩy là:
307692307692307692
Vậy 17 : 13 = 1,(307692) Chu kỳ gồm 6 chữ số.
Ta có 105 = 6.17 + 3 ()
Vậy chự số thập phân thứ 105 sau dấu phẩy là chữ số thứ ba của chu kỳ. Đó chính là số 7.
Ví dụ 2:
Tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 250000 cho 19
Giải:
Ta có . Vậy chỉ cần tìm chữ số thập phân thứ 132007 sau dấu phẩy trong phép chia 17 : 19
Bước 1:
Ấn 17 : 19 = 0,8947368421.
Ta được 9 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy là 894736842
+ Lấy 17 – 0, 894736842 * 19 = 2 . 10-9
Bước 2:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
+ Lấy 2 – 0,105263157 * 19 = 1,7 . 10-8 = 17 . 10-9
Bước 3:
Lấy 17 : 19 = 0,8947368421.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là
+ Lấy 17 – 0,0894736842 * 19 = 2 . 10-9
Bước 4:
Lấy 2 : 19 = 0,1052631579.
Chín số ở hàng thập phân tiếp theo là: 105263157
...
Vậy 17 : 19 = 0, 894736842105263157894736842105263157 ...
= 0,(894736842105263157) . Chu kỳ gồm 18 chữ số.
Ta có
Kết quả số dư là 1, suy ra số cần tìm là sồ đứng ở vị trí đầu tiên trong chu kỳ gồm 18 chữ số thập phân.
Kết quả: số 8
Bài tập:
Tìm chữ số thập phân thứ 2007 sau dấu phẩy khi chia:
-
1 chia cho 49 ĐS: chữ số 4(chữ số thứ 33 trong chu kì 42 chữ số)
-
10 chia cho 23 ĐS: chữ số 8(chữ số thứ 5 trong chu kì 22 chữ số)
VII. CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC
Một số kiến thức cần nhớ:
-
Định lý Bezout
Số dư trong phép chia f(x) cho nhị thức x – a chính là f(a)
Hệ quả: Nếu a là nghiệm của f(x) thì f(x) chia hết cho x – a
-
Sơ đồ Hor nơ
Ta có thể dùng sơ đồ Hor nơ để tìm kết quả của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a.
Ví dụ:
Thực hiện phép chia (x3 – 5x2 + 8x – 4) cho x – 2 bằng cách dùng sơ đồ Hor nơ.
Bước 1: Đặt các hệ số của đa thức bị chia theo thứ tự vào các cột của dòng trên.
Bước 2: Trong 4 cột để trống ở dòng dưới, ba cột đầu cho ta các hệ số của đa thức thương, cột cuối cùng cho ta số dư.
-
Số thứ nhất của dòng dưới = số tương ứng ở dòng trên
-
Kể từ cột thứ hai, mỗi số ở dòng dưới được xác định bằng cách lấy a nhân với số cùng dòng liền trước rồi cộng với số cùng cột ở dòng trên
Vậy (x3 – 5x2 + 8x – 4) = (x – 2)(x2 – 3x + 2) + 0
* Nếu đa thức bị chia là a0x3 + a1x2 + a2x + a3 , đa thức chia là x – a, ta được thương là b0x2 + b1x + b2 dư là r. Theo sơ đồ Hor nơ ta có:
a1
a2
a3
a0
a
r
b1
b2
b0
a0
ab0 + a1
ab1 + a2
ab2 + a3
Bài 1: Tìm số dư trong các phép chia sau:
-
x3 – 9x2 – 35x + 7 cho x – 12.
-
x3 – 3,256 x + 7,321 cho x – 1,1617.
-
Tính a để x4 + 7x3 + 2x2 + 13x + a chia hết cho x + 6.
-
-
Cho P(x) = 3x3 + 17x – 625
+ Tính P(2)
+ Tính a để P(x) + a2 chia hết cho x + 3
Bài 2:
Cho P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + f.
Biết P(1) = 1, P(2) = 4, P(3) = 9, P(4) = 16, P(5) = 25.
Tính P(6), P(7), P(8), P(9).
Giải:
Ta có P(1) =1 = 12; P(2) = 4 = 22; P(3) = 9 = 32; P(4) = 16 = 42; P(5) = 25 = 52
Xét đa thức Q(x) = P(x) – x2.
Dễ thấy Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0.
Suy ra 1; 2; 3; 4; 5 là nghiệm của đa thức Q(x).
Vì hệ số của x5 bằng 1 nên Q(x) có dạng:
Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5).
Vậy ta có Q(6) = (6 – 1)(6 – 2)(6 – 3)(6 – 4)(6 – 5) = P(6) - 62
Hay P(6) = 5! + 62 = 156.
Q(7) = (7 – 1)(7 – 2)(7 – 3)(7 – 4)(7 – 5) = P(7) – 72
Hay P(7) = 6! + 72 = 769. Tương tự hãy tính P(8), P(9).
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |