Học liệu mở> Đại học Yale > Lí > Cơ sở vật lí > Chương I: Giới thiệu khóa học và cơ học Newton Professor Ramamurti Shankar

Tôi muốn rút ra kết quả cuối cùng theo cách khác, sau đó tôi sẽ dừng, và điều đó khá thú vị, vì nó cho bạn biết việc sử dụng và lạm dụng giải tích. Vì vậy, tôi sẽ tìm cho bạn kết quả này bằng cách sử dụng giải tích theo cách khác. Vâng, từ giải tích chúng ta biết dv / dt = a. Bây giờ, nhân cả hai vế với v. Bạn đã biết từ giải tích cơ bản rằng v nhân dv / dt thực sự là d trên dt của v2 trên 2. Bây giờ, tôi hy vọng bạn biết rằng khi bạn lấy đạo hàm của một hàm của một hàm, cụ thể v2 trên 2 là một hàm của v, và chính v là một hàm của t, thì quy luật lấy đạo hàm là đầu tiên lấy v đạo hàm của đối tượng này, sau đó lấy d trên dt của t, kết quả bằng một. Ở vế phải, tôi sẽ viết là adx / dt. Chừng này là tiêu chuẩn.

I'm going to do something which somehow we are told never, ever to do, which is to just cancel the dts. You all know that when you do dy/dx, you're not supposed to cancel that d. That's actually correct. You don't want to cancel the d in the derivative. But this happens to be completely legitimate, so I'm going to assume it's true and I'll maybe take a second and explain why it's legitimate. What this really means is in a given time, Δt, the change in this quantity is a times the change in this quantity. Therefore, you can multiply both sides by the Δt, but the only thing you should understand is Δt, as long as it's small and finite, will lead to some small infinite errors in the formula, because the formula is really the limit in which Δx and Δt both go to 0. So what you have to do is multiply both sides by Δt, but remember it's got to be in the end made to be vanishingly small. As long as we understand that, we can do this cancellation and this says on the left-hand side the change in the quantity v² over 2 is a times the change in the quantity x. So add up all the changes or what you mean by integral. Same thing. Add up all the changes. The change in v² over 2 will be the final v² over 2 - the initial v² over 2 and the other side will be a times change in x; x - x⁰ and that's the formula I wrote for you: v² is v₀² + 2a (x - x⁰).

Tôi sẽ làm vài thứ mà vì một lí do chưa xác định chúng ta được khuyên là không bao giờ nên làm, chỉ để khử các dt. Tất cả các bạn đều biết rằng khi bạn thực hiện dy / dx, bạn không được khử d đó. Điều đó thực sự chính xác. Bạn không muốn khử d trong đạo hàm. Nhưng điều này ngẫu nhiên hoàn toàn có lí, vì vậy tôi sẽ giả sử nó đúng và có lẽ tôi sẽ lấy lần hai và giải thích tại sao nó hợp lí. Cái này có nghĩa là trong thời gian nhất định, Δt, sự thay đổi của đại lượng này bằng a nhân với sự thay đổi của đại lượng này. Vì thế, bạn có thể nhân cả hai vế với Δt, nhưng thứ duy nhất mà bạn nên hiểu là Δt, miễn là nó nhỏ và hữu hạn, sẽ dẫn đến một số lỗi không xác định nhỏ trong công thức, bởi vì công thức thực sự là giới hạn trong đó cả Δx và Δt tiến đến 0. Vì vậy, những gì bạn phải làm là nhân cả hai vế với Δt, nhưng hãy nhớ cuối cùng nó phải được cho tiến tới 0. Miễn là chúng ta hiểu điều đó, chúng ta có thể thực hiện phép khử này và hệ thức này có nghĩa là ở vế trái sự thay đổi của đại lượng v bình trên 2 bằng a nhân với sự thay đổi của đại lượng x. Vì vậy cộng thêm tất cả các thay đổi hoặc tích phân. Tương đương nhau. Cộng tất cả các thay đổi. Sự thay đổi của v bình trên 2 cuối cùng sẽ là v bình trên 2 - ban đầu v bình trên 2 và vế kia sẽ là a nhân với sự thay đổi của x; x - x0 và đó là công thức tôi đã viết cho bạn: v bình bằng v02 + 2a (x - x0).

So, the point is whenever you have derivatives with something over dt, do not hesitate to cancel the dts and think of them as Δv² over 2 is equal to a times Δ of x. This will be actually true as long as both quantities are vanishingly small. They will become more and more true as Δx and Δv² become vanishingly small, in the limit in which they are approaching 0, the two will be, in fact, equal. If Δx is a finite amount, like 1 second, this will not be true because in the starting equation, Δx and Δt and Δv² were all assumed to be infinitesimal. So don't hesitate to do manipulations of this type, and I will do them quite often. So you've got to understand when it's okay and when it's not okay. What this means is, in a time Δt, this quantity changes by some amount, and in the same time, Δt, that quantity changes by some amount, then keeping the Δt equal to some number we may equate the changes of the two quantities, provided it is understood that Δv² over 2 is a change in v² over 2 in the same time in which the particle moved a distance, Δx. Adding the differences, we eliminate time and we get this final result.

Vì vậy, vấn đề ở đây là bạn có đạo hàm của cái gì đó theo dt, đừng ngần ngại để bỏ các dt và xem chúng như Δv bình trên 2 bằng a nhân Δ x. Điều này sẽ thực sự đúng khi cả hai đại lượng cực kì nhỏ. Chúng sẽ càng trở nên đúng hơn khi Δx và Δv bình trở thành cực kì nhỏ, trong giới hạn mà ở đó chúng tiến tới 0, quả thực, hai cái sẽ bằng nhau. Nếu Δx là một số lượng hữu hạn, chẳng hạn như 1 giây, điều này sẽ không đúng bởi vì trong phương trình ban đầu, tất cả Δx và Δt và Δv bình được giả sử là rất nhỏ. Vì vậy, không ngần ngại để thao tác như thế này, và tôi sẽ làm chúng khá thường xuyên. Vì vậy, bạn phải hiểu khi nào nó ok và khi nào nó không ok. Những gì điều này muốn nói là, trong thời gian Δt, đại lượng thay đổi một lượng nào đó, và cũng trong khoảng Δt đó, đại lượng đó thay đổi lượng nào đó, thì giữ Δt bằng một số nào đó mà chúng ta có thể tính sự thay đổi của hai đại lượng, miễn là nó được hiểu là Δv bình trên 2 là sự thay đổi của v bình trên 2 khi hạt di chuyển một khoảng cách, Δx. Cộng những yếu tố vi phân, chúng ta loại bỏ thời gian và chúng ta nhận được kết quả cuối cùng này.