Student: [inaudible] Professor Ramamurti Shankar

Vì vậy, bạn không thể sử dụng công thức khi nó chạm mặt đất, vì một khi nó chạm mặt đất, các giả thuyết cơ bản a là hằng số bằng -9,8 hoặc -10 là sai. Vì vậy, đó là một điều khác để nhớ. Một khi bạn có được một công thức, bạn phải luôn luôn ghi nhớ những điều kiện mà số hạng được rút ra từ đó. Nếu bạn sử dụng nó quá mù quáng vượt xa hiệu lực của nó, bạn sẽ nhận được kết quả đó không có nghĩa. Ngược lại, nếu bạn nhận được một câu trả lời và nó dường như không có ý nghĩa, thì bạn phải quay lại và hỏi, tôi đã vi phạm một số giả định phải không, và ở đây bạn sẽ tìm thấy giả định rằng hạt có gia tốc a điều đó là đúng miễn là nó di chuyển tự do dưới tác dụng của trọng lực nhưng không phải khi nó chạm đất. Bây giờ, nếu bạn đào một lỗ từ đây cho đến đó, và dĩ nhiên nó có thể đúng cho đến khi điều đó xảy ra, vâng. Nhưng bạn có chúng mọi lúc. Điều này quá rõ ràng trong bài toán này, nhưng khi bạn gặp những công thức phức tạp hơn, bạn có thể không biết tất cả các giả thuyết khi rút ra nó và khá thường xuyên, bạn sẽ sử dụng nó khi bạn không nên. Được rồi.

See, this you agree, is a complete solution to this miniature, tiny, Mickey-Mouse problem. You give me the time and I'll tell you where it is. If you want to know how fast it's moving at a given time, if you want to know the velocity, I just take the derivative of this answer, which is 10 - 10t. So let me pick a couple of trivial questions one can ask. One can ask the following question. How high does it go? How high will it rise? To what height will it rise? So, we know it's going to go up and turn around and come down. We're trying to see how high that is. So, that is a tricky problem to begin with because if you take this formula here, it tells you y if you know t, but no, we're not saying that. We don't know the time and we don't know how high it's rising so you can ask, "How am I supposed to deal with this problem?" Then you put something else that you know in your mind, which is that the highest point is the point when it's neither going up nor coming down. If it's going up, that's not the highest point. If it's coming down, that's not the highest point. So at the highest point it cannot go up and it cannot go down. That's the point where velocity is 0. If you do that, let's call the particular time t*, then 10t* - 10 = 0, or t* is 1 second. So we know that it'll go up for one second then it will turn around and come back.

Thấy không, cái này bạn đồng ý, là một lời giải hoàn chỉnh cho vật thu nhỏ này, nhỏ xíu, bài toán chuột Mickey. Bạn cho tôi thời gian và tôi sẽ cho bạn biết nó ở đâu. Nếu bạn muốn biết nó di chuyển nhanh bao nhiêu tại bất kì thời điểm nào, nếu bạn muốn biết vận tốc, tôi chỉ cần lấy đạo hàm của kết quả này, nó bằng 10 – 10t. Vì vậy, hãy để tôi chọn một vài câu hỏi thông thường mà người ta có thể hỏi. Người ta có thể hỏi câu hỏi sau đây. Nó đi lên cao bao nhiêu? Nó nảy lên cao bao nhiêu? Hoặc chiều cao mà nó nảy lên là bao nhiêu? Vâng chúng ta biết nó sẽ đi lên và quay lại và đi xuống. Chúng ta đang cố gắng xem cái đó cao bao nhiêu. Vì vậy, đó là một bài toán tinh tế để bắt đầu bởi vì nếu bạn chọn công thức này ở đây, nó sẽ cho bạn biết y nếu bạn biết t, nhưng không, chúng ta không nói điều đó. Chúng ta không biết thời gian và chúng ta không biết nó nảy lên cao bao nhiêu, do đó bạn có thể hỏi, "Vậy tôi giải bài toán này như thế nào?" Sau đó, bạn đặt thêm cái gì khác mà bạn biết vào trong đầu bạn, đó là điểm cao nhất là điểm khi nó không đi lên mà cũng không đi xuống. Nếu nó đi lên, đó không phải là điểm cao nhất. Nếu nó đi xuống, đó không phải là điểm cao nhất. Vì vậy, tại điểm cao nhất nó không thể đi lên và nó không thể đi xuống. Đó là điểm mà tại đó vận tốc bằng 0. Chúng ta hãy gọi thời gian cụ thể đó là t*, do đó 10t* - 10 = 0, hay t* bằng 1 giây. Vì vậy, chúng ta biết rằng nó sẽ đi lên trong một giây sau đó nó sẽ quay lại và đi xuống.

Now, we are done because now we can ask how high does it go, and you go back to your, and y (1) is 15 + 10 - 5, which is what? Twenty meters. By the way, you will find that I make quite a lot of mistakes on the blackboard. You're going to find out, you know, one of these years when you start teaching that when you get really close to a blackboard, you just cannot think. There's definitely some inverse correlation between your level of thinking and the proximity to the blackboard. So if you find me making a mistake, you've got to stop me. Why do you stop me? For two reasons. First of all, I'm very pleased when this happens, because I'm pretty confident that I can do this under duress, but I may not do it right every time. But if my students can catch me making a mistake, it means they are following it and they are not hesitating to tell me. Secondly, as we go to the more advanced part of the course, we'll take a result from this part of the blackboard, stick it into the second part and keep manipulating, so if I screwed up in the beginning and you guys keep quiet, we'll have to do the whole thing again.

Bây giờ, chúng ta đã hoàn thành bởi vì bây giờ chúng ta có thể biết nó đi lên cao bao nhiêu, bằng cách quay lại biểu thức của y(t), và y (1) bằng 15 + 10-5, bằng bao nhiêu? Hai mươi mét. Qua đây, bạn thấy rằng tôi phạm khá nhiều lỗi trên bảng đen. Như bạn biết, bạn sẽ nhận ra, một trong những năm đầu khi bạn bắt đầu dạy khi bạn thực sự tiến gần đến bảng đen, bạn không thể suy nghĩ. Chắc chắn có một mối tương quan ngược nào đó giữa mức độ tư duy của bạn và sự gần bảng đen. Vì vậy, nếu bạn thấy tôi phạm một lỗi, bạn phải dừng tôi lại. Tại sao bạn dừng tôi lại? Có hai lý do. Trước hết, tôi rất vui khi điều này xảy ra, vì tôi khá tự tin rằng tôi có thể làm điều này do cưỡng ép, nhưng có thể tôi không làm nó đúng mọi lúc. Nhưng nếu các sinh viên của tôi có thể phát hiện lỗi của tôi, điều đó có nghĩa là họ đang theo dõi bài học và họ không ngập ngừng để cho tôi biết. Thứ hai, khi chúng ta đến phần nâng cao hơn của khóa học, chúng ta sẽ lấy kết quả từ đây, dán nó vào trong phần thứ hai và tiếp tục thao tác, do đó, nếu tôi xử lí tình huống kém vào lúc ban đầu và các bạn giữ yên lặng, thì chúng ta sẽ phải làm lại toàn bộ mọi thứ­ một lần nữa.

I would ask you when you follow this thing to do it actively. Try to be one step ahead of me. For example, if I'm struck by lightning, can you do anything? Can you guess what I'm going to say next? Do you have any idea where this is going? You should have a clue. If I die and you stop, that's not a good sign, okay. You've got to keep going a little further because you should follow the logic. So, for example, you know, I'm going to calculate next when it hits the ground. You should have some idea of how I'll do it. But this is not a spectator sport. If you just watch me, you're going to learn nothing. It's like watching the U.S. Open and thinking you're some kind of a player. You will have to shed the tears and you've got to bang your head on the wall and go through your own private struggle. I cannot do that for you. I cannot even make it look hard because I have memorized this problem from childhood, so there is no way I can make this look difficult. That's your job.

Tôi sẽ hỏi bạn khi bạn theo dõi điều này để làm nó hăng hái. Hãy cố gắng đi trước tôi một bước. Ví dụ, nếu tôi bị sét đánh, bạn có thể làm gì không? Bạn có thể đoán những gì tôi sẽ nói tiếp theo không? Bạn có bất cứ ý tưởng nào về việc vấn đề này đi đến đâu chưa? Bạn cần phải có một đầu mối. Nếu tôi chết, và bạn dừng lại, đó không phải là một tín hiệu tốt, được chứ. Bạn nên tiếp tục đi xa hơn một chút bởi vì bạn đã theo dõi logic. Vì vậy, ví dụ, bạn đã biết, tiếp theo tôi sẽ tính toán khi nào nó chạm đất. Bạn nên có một số ý tưởng về cách tôi sẽ làm điều đó. Nhưng đây không phải là môn thể thao thu hút nhiều khán giả. Nếu bạn chỉ nhìn tôi, bạn sẽ không học được gì. Giống như xem giải quần vợt Mĩ mở rộng và nghĩ bạn là một loại người chơi nào đó. Bạn sẽ phải chảy nước mắt và bạn phải đập đầu của bạn vào tường và trải qua cuộc tranh đấu nội tâm riêng của bạn. Tôi không thể làm điều đó cho bạn. Tôi thậm chí không thể làm cho nó có vẻ khó vì tôi đã nhớ bài toán này từ thời thơ ấu, vì vậy không có cách nào tôi có thể làm cho nó khó. Đó là công việc của bạn.

All right. So, we know this point at one second is 20 meters, so let's just ask one other question and we'll stop. One other question may be, "When does it hit the ground and at what speed?" -- a typical physics question. So when does it hit the ground? Well, I think you must know now how to formulate that question. "When does it hit the ground" is "When is y = 0"? By the way, I didn't tell you this but I think you know that I picked my origin to be here and measured y positively to be upwards and I called that 15 meters. You can call that your origin. If you call that your origin, your y₀ will be 0, but ground will be called -15. So, in the end, the physics is the same but the numbers describing it can be different. We have to interpret the data differently. But the standard origin for everybody is the foot of the building. You can pick your origin here, some crazy spot. It doesn't matter. But some origins are more equal than others because there is some natural landmark there. Here, the foot of the building is what I call the origin. So, in that notation, I want to ask, when is y = 0? I ask when y = 0, then I say 0 = 15 + 10t - 5t². Or I'm canceling the 5 everywhere and changing the sign here I get t² - 2t - 3 = 0. That's when it hits the ground. So let's find out what the time is. So t is then 2 + or - or + 12 over 2, which is 2 + or - 4 over 2, which is -1 or 3. Okay, so you get two answers when it hits the ground. So it's clear that we should pick 3. But you can ask, "Why is it giving me a second solution?" Anybody have an idea why?

Được rồi. Vì vậy, chúng ta biết điểm này tại một giây là 20 mét, do đó, chúng ta hãy hỏi ngay một câu hỏi khác và chúng ta sẽ dừng. Một câu hỏi khác có thể là, ‘Khi nào nó chạm đất và với tốc độ bằng bao nhiêu?’ -- Một câu hỏi vật lý điển hình. Vì vậy, khi nào nó chạm đất? Vâng, bây giờ tôi nghĩ rằng bạn phải biết cách để làm thành công thức câu hỏi đó. “Khi nào nó chạm đất” nghĩa là “Khi nào y = 0”?. Nhân đây, tôi đã không cho bạn biết điều này nhưng tôi nghĩ rằng bạn biết rằng tôi đã chọn gốc tọa độ của tôi ở đây và y dương là hướng lên và tôi gọi đó là 15 mét. Bạn có thể gọi đó là gốc tọa độ của bạn. Nếu bạn gọi đó là gốc tọa độ của bạn, y0 của bạn sẽ bằng 0, nhưng mặt đất sẽ có tọa độ là -15. Vì vậy, cuối cùng, hiện tượng vật lý là như nhau nhưng các con số mô tả nó có thể khác nhau. Chúng ta phải giải thích các dữ liệu khác nhau. Tuy nhiên, gốc tọa độ tiêu chuẩn cho mọi người là chân của tòa nhà. Bạn có thể chọn gốc tọa độ của bạn ở đây, điểm vớ vẩn nào đó. Điều đó không quan trọng. Nhưng một số hệ tọa độ có giá trị hơn những tọa độ khác vì có một mốc tự nhiên nào đó ở đó. Ở đây, tôi gọi chân của tòa nhà là gốc tọa độ. Vì vậy, theo quy ước đó, tôi muốn hỏi, khi nào y = 0? Tôi hỏi khi nào y = 0, thì tôi nói 0 = 15 + 10t - 5t2. Hoặc tôi đơn giản 5 ở mọi nơi và đổi dấu ở đây tôi nhận được t2 - 2t - 3 = 0. Đó là khi nó chạm mặt đất. Vì vậy, hãy tìm thời gian bằng bao nhiêu. Vâng t bằng 2 + hoặc – hoặc + 12 trên 2, nó là 2 + hoặc - 4 trên 2, bằng -1 hoặc 3. Được rồi, do đó, bạn được hai câu trả lời khi nó chạm mặt đất. Vì vậy, rõ ràng là chúng ta sẽ chọn 3. Nhưng bạn có thể hỏi, “Tại sao nó lại mang đến cho tôi nghiệm thứ hai?” Có ai biết tại sao không?

Bởi vì nó là toàn bộ một parabon

Chính xác. Vâng câu trả lời của cô ấy là, nếu nó là một parabol, thì suy ra nó sẽ ở tại mặt đất trước khi tôi thiết lập đồng hồ của tôi bằng 0. Trước hết, thời gian âm không quấy rầy ai; t = 0 là khi tôi bấm giờ, tôi đo thời gian hướng về tương lai, nhưng hôm qua sẽ là t =-1 ngày, phải không? Vì vậy, chúng ta không có bất kỳ vấn đề gì với thời gian âm. Vì vậy, vấn đề ở đây là, phương trình này, nó không biết gì về tòa nhà. Không biết về toàn bộ bài hát và khiêu vũ mà bạn đã đến tòa nhà và bạn đã ném một hòn đá lên hay bất cứ thứ gì. Toán học biết cái gì? Nó biết rằng hạt này đồng thời có chiều cao 15, tại thời điểm 0, và vận tốc bằng 10, tại thời điểm 0, và nó rơi dưới tác dụng của trọng lực với gia tốc -10. Đó là tất cả những gì nó biết. Nếu đó là tất cả những gì nó biết, thì trong viễn cảnh đóR không có tòa nhà hoặc bất cứ thứ gì khác, nó vẫn tiếp tục một quỹ đạo vừa đi về trước theo thời gian vừa đi lùi theo thời gian, và nó nói rằng bất cứ giây nào, một giây truớc khi bạn thiết lập đồng hồ của bạn là 0, nó sẽ ở mặt đất. Những gì nó muốn nói là nếu bạn thả hòn đá tại vị trí đó với một tốc độ nào đó một giây trước khi chúng ta có thể tính, nó sẽ kết thúc ở trên đây với vị trí và vận tốc đúng như lúc bắt đầu thí nghiệm.

So sometimes the extra solution is very interesting and you should always listen to the mathematics when you get extra solutions. In fact, when a very famous physicist, Paul Dirac, was looking for the energy of a particle in relativistic quantum mechanics, he found the energy of a particle is connected to its momentum, this p is what we call momentum, and its mass by this relation. It's a particle of mass m and momentum p has this energy so you solve for the energy, you get two answers. Now, your temptation is to keep the first answer because you know energy is not going to be negative. Particle's moving, it's got some energy and that's it. But the mathematicians told Dirac, "You cannot ignore the negative energy solution because it tells you there's a second solution and you cannot throw them out," and it turns out the second solution, with negative energy, was when the theory is telling you, hey, there are particles and there are anti-particles, and the negative energy when properly interpreted will describe anti-particles. So the equations are very smart.

Vì vậy, thỉnh thoảng các nghiệm phụ rất lí thú và các bạn nên luôn luôn lắng nghe toán học khi bạn nhận được các nghiệm phụ. Trong thực tế, khi một nhà vật lý học rất nổi tiếng, Paul Dirac, đang tìm năng lượng của hạt trong cơ học lượng tử tương đối tính, ông đã tìm thấy năng lượng của một hạt gắn với động lượng của nó, p này là động lượng, và khối lượng của nó qua hệ thức này. Đó là một hạt khối lượng m và động lượng p có năng lượng này và bạn có thể giải để tìm năng lượng, bạn sẽ nhận được hai kết quả. Bây giờ, có cái gì đó xúi giục bạn nên giữ câu trả lời đầu tiên bởi vì bạn biết năng lượng sẽ không thể âm. Hạt đang chuyển động, nó được nhận năng lượng nào đó và đó là nó. Nhưng toán học đã nói với Dirac, "Bạn không thể bỏ qua các nghiệm năng lượng âm vì nó cho bạn biết đó là nghiệm thứ hai và bạn không thể vứt chúng đi", và hóa ra là nghiệm thứ hai, với năng lượng âm, là lúc lí thuyết nói với bạn, hey, có hạt và có phản hạt, và năng lượng âm khi được giải thích đúng sẽ mô tả phản hạt. Vì vậy, các phương trình rất thông minh.

The way the physics works is you will find some laws of motion in mathematical form, you put in the initial conditions of whatever, you solve the equations, and the answer that comes, you have no choice. You have to accept the answer, but there are new answers besides the one you were looking for. You've got to think about what they mean, and that's one of the best things about physics because here's a person who is not looking for anti-particles. He was trying to describe electrons, but the theory said there are two roots in the quadratic equation and the second root is mathematically as interesting as the first one. It has to be part of a theory, and then trying to adjust it so it can be incorporated, you discover anti-particles. So always amazing to us how we go into the problem, our eye or mind can see one class of solutions, but the math will tell you sometimes there are new solutions and you've got to respect it and understand and interpret the unwanted solutions, and this is a simple example where you can follow what the meaning of the second solution is. It means that to the problem you pose, there's more than the answers that you could imagine. Here it meant particle that was released from the ground earlier. There it meant something much more interesting, mainly anti-particles accompanying particles. They are going to accompany particles surely as every quadratic equation has two solutions.

Cách thức mà các nhà vật lí làm việc là tìm một số định luật chuyển động dưới dạng toán học, đưa vào các điều kiện ban đầu, bạn giải các phương trình, và nghiệm hiện ra, bạn không có sự lựa chọn. Bạn phải chấp nhận nghiệm, nhưng có nhiều nghiệm bên cạnh cái mà bạn đang tìm kiếm. Bạn phải suy nghĩ xem chúng có ý nghĩa gì, và đó là một trong những thứ tốt nhất về vật lí vì suy cho cùng mục đích của Dirac không phải là tìm kiếm phản hạt. Ông đang cố gắng mô tả các electron, nhưng lý thuyết nói rằng có hai nghiệm trong phương trình bậc hai và về mặt toán học nghiệm thứ hai lí thú như nghiệm thứ nhất. Nó phải là một phần của lí thuyết, và sau đó cố gắng điều chỉnh nó để nó có thể được kết nạp, bạn khám phá ra các phản hạt. Vì vậy chúng ta luôn luôn sửng sốt khi chúng ta tìm hiểu sâu một vấn đề, mắt hay tâm trí của chúng ta có thể thấy một lớp các nghiệm, nhưng đôi khi toán học sẽ cho bạn những nghiệm mới và các bạn phải tôn trọng nó và hiểu và giải thích các nghiệm không mong muốn, và đây là một ví dụ đơn giản, trong đó bạn có thể theo dõi nghiệm thứ hai có ý nghĩa gì. Nó có nghĩa là bài toán mà bạn đặt ra, có nhiều hơn một câu trả lời mà bạn có thể tưởng tượng. Ở đây nó có nghĩa là hạt được thả từ mặt đất trước đó. Ở đó nó muốn nói những điều thú vị hơn nhiều, chủ yếu là các phản hạt kèm theo hạt. Chúng sẽ đi cùng với các hạt chắc chắn như mỗi phương trình bậc hai có hai nghiệm.

All right, so now in this problem, we can do something slightly different, and let's use this expression here, and I will do that, then I'll stop for today. If you were asking questions, like, how high does it go, but you don't ask when does it go to the highest point, then you don't have to go through the whole process of finding the time at which it turned around. I don't know where that is, that disappeared on the blackboard, then putting the time equal to 1 second into this formula. If the question of time is not explicitly brought up, then you should know that you have to use this formula. So how do we get it here? Well, we say at the top of the loop, when it goes up and comes down the velocity is 0. Therefore, you say 0² = initial velocity² + 2 times -g, that's my acceleration, times y - y₀. If you solve for that, you find y - y₀ = v₀² over 2g, and if you put in the v₀ I gave you, which was what, 10? That's 100 over 20, which is 5 meters. So y = y₀ + 5 meters, and that was the height to which it rises. I think we got it somewhere else. We found the maximum height to be 20 meters. Another thing you can do is you can find the speed here. If you want to find the speed there, you put the equation v² = v₀² + 2 times -g (y - y₀). What is y - y₀? The final y is 0, the initial y is 15. You solve for that equation and you will find the final velocity. So, if time is not involved, you can do it that way.

Được rồi, vì vậy bây giờ trong bài toán này, chúng tôi có thể làm điều gì đó hơi khác, và chúng ta hãy sử dụng biểu thức này, và tôi sẽ làm điều đó, sau đó tôi sẽ kết thức buổi học hôm nay. Nếu bạn đã đặt câu hỏi, chẳng hạn như, nó đi lên cao bao nhiêu, nhưng bạn không hỏi khi nào nó đi đến điểm cao nhất, thì bạn không cần xem xét tỉ mỉ toàn bộ quá trình tìm thời gian nó quay lại. Tôi không biết đó là nơi nào, nó biến mất trên bảng đen, sau đó đặt thời gian bằng 1 giây trong công thức này. Nếu câu hỏi về thời gian không được nêu ra rõ ràng, thì bạn nên sử dụng công thức này. Vậy chúng ta nhận được nó ở đây như thế nào? Vâng, chúng ta thấy ở điểm cao nhất, vận tốc bằng 0. Vì vậy, bạn có 0 bình = vận tốc ban đầu bình + 2 lần-g, đó là gia tốc của tôi, nhân y - y0. Nếu bạn giải cái đó, bạn tìm thấy y - y0 = v0 bình trên 2g, và thế v0 đã cho vào, bao nhiêu, 10? Bằng 100 trên 20, bằng 5 mét. Vì vậy, y = y0 + 5 mét, và đó là chiều cao mà nó đi lên. Tôi nghĩ chúng ta nhận được nó ở một nơi khác. Chúng ta tìm thấy chiều cao cực đại là 20 mét. Một thứ khác mà bạn có thể làm là bạn có thể tìm tốc độ ở đây. Nếu bạn muốn tìm tốc độ ở đó, bạn đặt vào phương trình v2 = v02 + 2 lần-g (y - y0). y - y0 bằng bao nhiêu? y cuối cùng bằng 0, y ban đầu bằng 15. Bạn giải phương trình đó và bạn sẽ tìm được vận tốc cuối cùng. Vì vậy, nếu thời gian không được cho, bạn có thể làm bài toán theo cách đó.

I want to derive the last result in another way, then I will stop, and that's pretty interesting because it tells you the use and abuse of calculus. So I'm going to find for you this result using calculus in a different way. So, from the calculus we know dv/dt = a. Now, multiply both sides by v. Now you have to know from elementary calculus that v times dv/dt is really d by dt of v² over 2. Now, I hope you guys know that much calculus, that when you take a derivative of a function of a function, namely v² over 2 is a function of v, and v itself is a function of t, then the rule for taking the derivative is first take the v derivative of this object, then take the d by dt of t, which is this one. On the right-hand side, I'm going to write as a dx/dt. This much is standard.