GIẢi phưƠng trìNH, HỆ phưƠng trìNH, chứng minh bấT ĐẲng thức bằNG phưƠng đẲng pháp cấp a. ĐẶt vấN ĐỀ

Trong quá trình giảng dạy môn toán tôi thấy việc giải phương trình ,hệ phương trình ,chứng minh bất đẳng thức .Nếu sử dụng các phương pháp thông thường có khi gặp khó khăn thậm chí không giải quyết trọn vẹn. Nhưng nếu đưa được về cùng bậc thì việc giải quyết lại rất thuận tiện vì việc biến đổi khá dể dàng . Sau đây là một số ví dụ minh họa đó củng là phương pháp giải .

Ở lớp 11việc giải phương trình lượng giác đẳng cấp chỉ nói cho bậc 2 .Thực ra ta có phương pháp chung cho bậc n là các số nguyên dương.

-Phương trình đẳng cấp bậc nhất:

Dạng : asinx +bcosx = 0 (ab 0 ) (1)

(1) tan x = - (là phương trình cơ bản )

-Phương trình đẳng cấp bậc hai:

Dạng : asinx + bsinxcosx + c cosx = d (2)

(2) asinx + bsinxcosx + c cosx = d(sinx + cosx)

Đây là phương trình mà học sinh đả biết cách giải .

-Phương trình đẳng cấp bậc ba:

Dạng : a sinx + bsinxcosx + c sinxcosx +dcosx = 0(3)

Xét cos x = 0 x = + k (3) trở thành a =0 (xét trực tiếp )

Nếu cosx 0 (Chia hai vế cho cosx )

(3 ) a tanx + b tanx + ctan x + d = 0

Đây là phương trình bậc 3 mà ta đả biết cách giải .

Bằng cách tương tự ta giải được phương trình đẳng cấp bậc n ( n N)

Ví dụ: Giải phương trình : 2cosx = sin x (1)

Giải

Nếu không cân bằng bậc thì việc giải sẻ gặp khó khăn , ta làm như sau :

(1) 2cox = sin x (sinx + cosx )

sinx + sinxcosx - 2 cosx = 0 (2)

Nếu cosx = 0 (2) Trở thành : 1 = 0 (vô lí )

Chia 2 vế của (2) cho cosx (2) tanx + tan x – 2 = 0

( tan x -1) (tanx + tan x + 2) = 0 (tanx + tan x + 2 > 0)

x = + k

x = + k

Ta giải hệ bằng cách khử số hạng tự do ở vế phải để đưa hệ về phương trình đẳng cấp bậc 2 :

Đây là một phương trình quen thuộc .

Hệ đả cho

Trừ theo vế ta được :

Nếu : y = 0 hệ trở thành ( hệ vô nghiệm)

*Với t =1 x = y

x =

Với t = x =

( 1; 1) ;(-1; -1) ; và

Hệ

Từ hệ đả cho ta có

(2) và (3) Thay vào hệ ban đầu ta có :

Hệ

Lấy (5) – (4).7 ta được

Hệ

(*) là phương trình đẳng cấp ( x 0) (*)



(Vì> 0) Ta có hệ



Đáp số
III; CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÓ ĐIỀU KIỆN

Khi chưng minh bất đẳng thức có điều kiện việc đưa hai vế bất đẳng thức về cùng bậc rất có hiệu quả .Sau đây là một số ví dụ minh họa .

Ví dụ1:

Biết Chứng minh rằng (1)

Đẳng thức xẩy ra

Chứng minh rằng : (2)

Đẳng thức xẩy ra

Chứng minh : (3)

Gọi x;y;z là 3 nghiệm của phương trình :

Theo vi ét ta có


(4)

Ta có

Điều này không xẩy ra vì phân biệt Điều phải chứng minh

Ví dụ 5:

Biết Chứng minh rằng : (5)

(5) (6)

Ta có

(7)Ta chứng minh (Đúng) (8 )

Từ (6),( 7) ,(8) .Đẳng thức xẩy ra khi

1; Giải phương trình

2; Giải hệ phương trình

4;Cho và

Chứng minh rằng

5; Biết Chứng minh rằng : .

Trên đây là một số ví dụ về phương pháp giải phương trình hệ, phương trình ,chứng minh bất đẳng thức có điều kiện bằng cách đưa về cùng bậc. Ngoài ra nó còn ứng dụng vào giải nhiều dạng bài toán khác hẹn các bạn một dịp khác. Chúc các bạn thành công trong quá trình học tập và rèn luyện.