ChuyêN ĐỀ ĐẠi số TỔ HỢP, XÁc suất kiến thức cơ bản Đại số tổ hợp

Có n₁ cách chọn đối tượng A₁.

n₂ cách chọn đối tượng A₂.

A₁  A₂ = 

 Có n₁ + n₂ cách chọn một trong các đối tượng A₁, A₂.

1.1.2. Quy tắc nhân:

Có n₁ cách chọn đối tượng A₁. Ứng với mỗi cách chọn A₁, có n₂ cách chọn đối tượng A₂.

 Có n₁.n₂ cách chọn dãy đối tượng A₁, A₂.

1.1.3. Hoán vị:

 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.

 Số hoán vị: P_n = n!.

1.1.4. Chỉnh hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k  n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

 Số các chỉnh hợp:

1.1.5. Tổ hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

 Số các tổ hợp:

 Hai tính chất: ,

 Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):

 Đặc biệt:

1.2. Xác suất

1.2.1. Tính xác suất bằng định nghĩa cổ điển:

+ 0P(A)1 + ,

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc, thì:

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì:

Gọi số cần tìm là

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.

Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: cách

3 vị trí còn lại có cách

Suy ra có số

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.

Xếp 3 có 4 cách

3 vị trí còn lại có cách

Suy ra có số

Vậy số các số cần tìm tmycbt là: = 384

Ví dụ 2. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.

Lời giải

Từ giả thiết bài toán ta thấy có cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) và =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có . = 100 bộ 5 số được chọn.

Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả ..5! = 12000 số.

Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là .

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 3. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.

Lời giải

Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là

Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là:

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là:

Số cách chọn thoả mãn đề bài là: (cách)

Ví dụ 4. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439.

Lời giải

Nếu n  2 thì n + 6  8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không vượt qua (loại). Vậy n  3

Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:

 (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540

 n² + 4n – 140 = 0

Từ đó tìm được n = 10.

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2010.

2) Cho hai đường thẳng song song d₁ và d₂. Trên đường thẳng d₁ có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d₂ có n điểm phân biệt (). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.

3) Cho tập , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.hoctoancapba.com

Giải phương trình ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n  N.

Phương trình tương đương với 

 n² – 11n – 12 = 0  n = - 1 (Loại) v n = 12.

Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: .

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: T_{k +1} = ; k  N, 0 ≤ k ≤ 12

Hay T_{k+ 1} = = .

Số hạng này không chứa x khi .

Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T₉ =

Ví dụ 2. Tìm hệ số của x⁸ trong khai triển (x² + 2)ⁿ, biết: .

Lời giải

Điều kiện n  4

Ta có

Hệ số của số hạng chứa x⁸ là

Hệ số của số hạng chứa x⁸ là

Ta có:

 (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49

 n³ – 7n² + 7n – 49 = 0  (n – 7)(n² + 7) = 0  n = 7

Nên hệ số của x⁸ là

Ví dụ 3 (ĐH). Cho khai triển đa thức: Tính tổng:

Lời giải

Ta có:

Nhận thấy: do đó thay vào cả hai vế của (*) ta có:

Ta có nên

Trong khai triển hệ số của là: ; Trong khai triển hệ số của là:

Trong khai triển hệ số của là:

Vậy hệ số

Ta có: (1)

Lấy (1)+(2) ta được:

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được:

Thay x=1 vào =>

1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển với x > 0.

2) Tính tổng:

3) Tính tổng .

Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: hoctoancapba.com

Khi đó .

Xác suất của biến cố là .

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là:

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: 13.

Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: = .

Giả sử

Chọn .

Số chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A) = 1560.

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là:

Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là .

Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có:

Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là .

Gọi A_i là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.

Ta có:

Suy ra:

Trong đó:

Vậy:

1) Từ các chữ số của tập , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất

một số chia hết cho 5.

2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A.