CHƯƠng II: SỐ nguyêN BÀi quan hệ thứ TỰ trong I. Khái niệM

BÀI 3. QUAN HỆ THỨ TỰ TRONG

Trong mục này ta sẽ định nghĩa một quan hệ thứ tự trên tập các số nguyên . Đương nhiên, ta muốn rằng quan hệ thứ tự trên phải bảo toàn quan hệ thứ tự trên , nghĩa là với bất kì cặp số tự nhiên x,y, việc so sánh x và y với tư cách là hai số nguyên cũng phải cho cùng một kết quả như khi so sánh chúng với tư cách là hai số tự nhiên.

Ta đã biết, theo quan hệ thứ tự đã xác định trên , với Điều đó là cơ sở cho định nghĩa quan hệ thứ tự sau đây trên .

1. Định nghĩa

Cho , ta nói x nhỏ hơn hoặc bằng y và viết là nếu

Khi có , ta cũng nói y lớn hơn hoặc bằng x và viết là

Khi có và ta nói x nhỏ hơn y và viết x < y.

Quan hệ xác định như trên là một quan hệ thứ tự toàn phần trong .

Trước hết, ta kiểm tra rằng quan hệ có ba tính chất đặc trưng của một quan hệ thứ tự.

a) Tính chất phản xạ: vì nên theo định nghĩa với mọi số nguyên x.

b) Tính chất phản đối xứng:

Giả sử mà đồng thời có và

Khi đó theo định nghĩa ta có: và

Mặt khác, dễ thấy y – x và x – y là hai số đối nhau:

(y – x) + (x – y) = 0.

Nhưng ta biết hai số tự nhiên có tổng bằng 0 khi và chỉ khi cả hai đều bằng 0, vậy:

y – x = x – y = 0

hay x = y.

c) Tính chất bắc cầu:

Giả sử Khi đó theo định nghĩa và Mặt khác, ta có:

và vì tổng của hai số tự nhiên lại là một số tự nhiên, nên ta có hay Điều phải chứng minh.

Bây giờ ta chứng minh là một quan hệ thứ tự toàn phần trong , nghĩa là với mọi luôn có hoặc , hoặc

Thật vậy, vì y – x và x – y là hai số nguyên đối nhau nên có hai khả năng:

• 
  Hoặc khi đó theo định nghĩa, ta có
  
• 
  Hoặc thì và do đó theo định nghĩa
  

Trong bài 2, ta đã đưa ra khái niệm số dương, số âm.

a) Các số tự nhiên khác 0: 1, 2, 3,... gọi là các số nguyên dương. Hiển nhiên, nếu x nguyên dương thì , vậy x > 0. Ngược lại, nếu x > 0 thì và , nghĩa là x là một số tự nhiên khác 0, do đó x là số nguyên dương.

Vậy số nguyên dương là và chỉ là các số nguyên lớn hơn 0.

b) Các số -1, -2, -3,... gọi là các số nguyên âm, nghĩa là số nguyên âm là một số nguyên khác 0 và khác các số nguyên dương.

Từ kết luận trên về các số nguyên dương ta suy ra khẳng định sau: số nguyên âm là và chỉ là số nguyên nhỏ hơn 0.

Giả sử , nếu thì

Thật vậy, ta luôn có:

Từ suy ra , đó đó hay

Hệ quả 1. suy ra

Thật vậy, từ

Nghĩa là trong một bất đẳng thức ta có thể chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia với điều kiện phải đổi dấu số hạng đó.

2. Tính chất giữa thứ tự và phép nhân

Giả sử , nếu và thì

Thật vậy, nếu thì khi đó tích x.y cũng là một số tự nhiên và Vậy

Hệ quả 2. Nếu và z > 0 thì

Thật vậy, và do đó Điều phải chứng minh.

Nghĩa là nhân hai vế của một bất đẳng thức với một số dương thì bất đẳng thức không đổi chiều.

Hệ quả 3. Nếu và z < 0 thì

Thật vậy, , do đó Điều phải chứng minh.

Nghĩa là nhân hai vế của một bất đẳng thức với một số âm thì bất bất thức đổi chiều.

III. SỐ LIỀN SAU

1. Định lí

Với mọi số nguyên x, không tồn tại số nguyên nào nằm giữa x và x + 1, nghĩa là không tồn tại số nguyên y nào sao cho:

x < y < x + 1.

Chứng minh

Giả sử ngược lại, có số nguyên y sao cho x < y < x +1.

Khi đó và

0 < y – x < 1.

Vậy tồn tại số tự nhiên y – x nằm giữa 0 và 1. Mâu thuẫn!

2. Định nghĩa

Số nguyên x + 1 gọi là số liền sau của số nguyên x.

Vậy mọi số nguyên x đều có một số liền sau duy nhất, hơn nữa giữa số nguyên x và số liền sau nó không tồn tại một số nguyên nào.

Ta nói tập hợp các số nguyên sắp thứ tự rời rạc.

Giả sử Ta có các định nghĩa sau:

a) M được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại sao cho với mọi

b) M được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại sao cho với mọi

c) M được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới.

2. Định lí

a) Mọi bộ phận khác rỗng các số nguyên bị chặn trên đều có số lớn nhất.

a) Giả sử và bị chặn trên. Ta cần chứng minh M có số lớn nhất. Xét hai trường hợp:

• 
  Khi đó tập hợp
  

là một bộ phân khác rỗng, bị chặn trên của do đó có số lớn nhất. Vì M’ là một bộ phận tất cả các số tự nhiên của M nên phần còn lại của M chỉ gồm các số nguyên âm, do đó số lớn nhất của M’ cũng là số lớn nhất của M.

• 
  nghĩa là M chỉ gồm các số nguyên âm. Xét tập hợp
  

M’ là một bộ phận khác rỗng của nên có số nhỏ nhất. Giả sử |m| là số nhỏ nhất của M’ thì ta có:

hay theo định nghĩa của M’:

Vì mọi số thuộc M đều là nguyên âm, nên Từ suy ra hay Vậy m là số lớn nhất của M.

b) Giả sử và M bị chặn dưới bởi số nguyên a (nghĩa là ).

Đặt

Khi đó –M là bộ phận khác rỗng của và bị chặn trên bởi –a (vì từ suy ra ).

Theo câu a) –M có số lớn nhất, giả sử đó là tức là:

hay và

Từ suy ra

Vậy M có số nhỏ nhất là m.

 x, y  : x  y  x – y  .

a) Quan hệ  có phải là một quan hệ thứ tự trong không?

b) Kiểm tra xem các tính chất sau còn đúng không?

c) Nếu x, y là hai số tự nhiên thì quan hệ x  y có phù hợp với quan hệ thứ tự trong không?

a) Ta chứng minh quan hệ: là một quan hệ thứ tự trên .

..........

b) Kiểm tra các tính chất.

• 
  Giả sử Theo câu a) ta có
  

Do đó

• 
  Giả sử với Khi đó không thể xảy ra
  

Vì tích của hai số tự nhiên là một số tự nhiên nên

Mặt khác

nên (1)

Do đó nếu thì (2)

Từ (1) và (2) suy ra xy = 0. Điều này là không đúng nếu ta lấy và

c) Nếu x, y là hai số tự nhiên thì quan hệ được định nghĩa như trên không phù hợp với quan hệ thứ tự trong

Thật vậy, theo định nghĩa trên:

Mặt khác theo quan hệ trong

Ta có x – y và y – x là hai số tự nhiên có

(x – y) + (y – x) = 0

Do đó x – y = y – x = 0 hay x = y.

Vậy nếu thì quan hệ không còn phù hợp với quan hệ thứ tự trong

Bài 8. Dựa vào qui tắc các số nguyên, hãy giải thích, trong những trường hợp nào của hai số nguyên a và b ta có kết quả của phép cộng a + b như sau:

a) a + b = -(|a| + |b|);

b) a + b = |a| - |b|;

c) a + b = -(|a| - |b|).

a) Ta có:

Dễ thấy với mọi số nguyên x. Do đó ta đang có tổng của hai số tự nhiên bằng 0. Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi cả hai số hạng đều bằng 0

Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối điều này xảy ra khi và chỉ khi a, b là những số nguyên âm.

b) (*)

Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối ta có

Từ đó ta thấy đẳng thức (*) xảy ra trong các trường hợp sau:

• 
  và b nguyên âm.
  

• 
  và a = - b.
  

Áp dụng kết quả câu b) ta có:

• 
  và a nguyên âm.
  

• 
  và b = - a.
  

Giả sử x, y là hai số nguyên âm. Trước hết ta có:

Do và nên ta có

Để chứng minh mệnh đề ta xét hai trường hợp:

1) Trường hợp Khi đó do x > 0 nên chọn n = 1 ta được

2) Trường hợp y > 0.

Xét tập hợp:

- Nếu thì y < x = 1.x, nên chỉ việc lấy n = 1.

- Nếu ta xét tập hợp

Ta nhận thấy tập vì có x = 1.x đồng thời thuộc cả hai tập X và Y. Mặt khác bị chặn trên bởi y nên có phần tử lớn nhất, chẳng hạn đó là phần tử mx. Khi đó

nên (vì nếu mà nên mx không phải là số lớn nhất của ), bởi vậy (m + 1)x > y. Nếu đặt n = m + 1 ta được nx > y.

Bài tập nghiên cứu