Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác
tải về 385.62 Kb.
|
Sáng kiến kinh nghiệm 2014 Giáo viên: Đặng Thị Mến PHẦN I: PHẦN LÍ LỊCH Họ tên tác giả: Đặng Thị Mến Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THPT chuyên Hưng Yên Tên đề tài sáng kiến kinh nghiệm “Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp” PHẦN II: PHẦN NỘI DUNG MỞ ĐẦU 1- Đặt vấn đề: Thực trạng của vấn đề: Số phức và ứng dụng của nó đóng vai tṛ như là một công cụ đắc lực nhằm giải quyết hiệu quả nhiều bài toán của h́nh học, giải tích, đại số, số học và toán tổ hợp. Ngoài ra, các tính chất cơ bản của số phức c̣n được sử dụng trong toán cao cấp, toán ứng dụng và trong nhiều mô h́nh thực tế. Trong các kỳ thi Olympic toán quốc gia và quốc tế, Olympic toán khu vực, th́ các bài toán liên quan đến số phức thường được đề cập dưới nhiều dạng phong phú thông qua các đặc trưng và các biến đổi khác nhau của phương pháp giải, vừa mang tính tổng hợp cao, vừa mang tính đặc thù sâu sắc. Trong chương tŕnh Toán ở bậc trung học, số phức được đưa vào chương tŕnh giải tích 12, đối với chương tŕnh chuyên toán số phức được giới thiệu đầu lớp 11, tuy nhiên c̣n rất đơn giản. V́ nhiều lí do khác nhau, rất nhiều học sinh, thậm chí là học sinh khá, giỏi sau khi học xong phần số phức cũng chỉ hiểu một cách đơn sơ: sử dụng số phức, có thể giải được mọi phương tŕnh bậc hai, tính một vài tổng đặc biệt, chứng minh một số công thức lượng giác đơn giản,…. Hiện nay tài liệu về số phức không nhiều và thường tản mạn. V́ vậy tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp”, với mong muốn giúp học sinh, nhất là học sinh khá, giỏi và giáo viên các lớp chuyên toán, làm quen sử dụng, ứng dụng số phức vào giải toán và cách tiếp cận để giải các dạng toán liên quan, đồng thời giúp cho những học sinh có khả năng, có nguyện vọng và có điều kiện có thể tham gia tốt các ḱ thi học sinh giỏi trong nước và quốc tế. Ư nghĩa và tác dụng của đề tài: Nghiên cứu đề tài “Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp” nhằm giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về số phức, nhằm phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của học sinh, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự đam mê, yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh. Phạm vi nghiên cứu của đề tài: Xác định cơ sở khoa học của số phức với dạng đại số và lượng giác, căn bậc n của số phức phân ra một số dạng toán ứng dụng số phức. Tiếp cận một số ứng dụng của số phức trong giải toán đại số và toán tổ hợp. Một số dạng ứng dụng của số phức trong giải các bài toán đại số và toán tổ hợp dành cho học sinh khá, giỏi và học sinh các lớp chuyên toán lớp 11, 12. 2- Phương pháp tiến hành a). Nghiên cứu tài liệu b). Thực nghiệm (giảng dạy), đây là phương pháp chính Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp là kiến thức tương đối khó. Do đó nội dung kiến thức này chủ yếu nhằm phục vụ cho học sinh khá, giỏi với mục đích phát huy năng lực toán học, nâng cao tầm hiểu biết của học sinh, là tiền đề để các em tham gia tốt các kỳ thi học sinh giỏi. Do tính đa dạng và phạm vi sâu rộng của kiến thức trong chuyên đề mà nó được sử dụng linh hoạt, uyển chuyển cho nhiều loại đối tượng học sinh khá giỏi khác nhau với thời gian học khác nhau. Nội dung kiến thức trong chuyên đề giảng dạy cho học sinh các lớp chuyên, chọn từ lớp11, sau khi các em đă học lượng giác. Nếu đối tượng học là học sinh các lớp chuyên, chọn khối 11, thời gian học có thể từ 6 đến 8 tiết. V́ đây là kiến thức bồi dưỡng học sinh giỏi theo kế hoạch thường xuyên và đều đặn, do đó cần cung cấp cho học sinh kiến thức một cách hệ thống tỉ mỉ, giải thích và khắc sâu các ví dụ trong mỗi phương pháp. Với học sinh lớp chuyên, chọn khối 12, nội dung kiến thức này được dùng cho các tiết chuyên đề. Thời gian tuỳ thuộc vào sự phân bố số tiết học của từng chuyên đề đă được quy định cho các lớp chuyên, chọn nhưng có thể gói gọn từ 4 đến 6 tiết. Ngoài ví dụ đă có, học sinh vận dụng các phương pháp được học để giải những bài tập nâng cao, tự nghiên cứu t́m lời giải cho các bài toán tương tự. Nếu học sinh tham gia đội tuyển thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thành phố, đội tuyển quốc gia hoặc quốc tế, th́ cần xác định thời gian là cấp tốc, nên đưa ra những phuơng pháp với các ví dụ, bài tập chọn lọc vận dụng nhiều kiến thức tổng hợp và các dạng toán thường gặp. Thời gian học có thể từ 2 đến 4 tiết. Ngoài ra đối với học sinh lớp 12, chuẩn bị thi đại học ta có thể dành từ 1-2 tiết để giới thiệu ứng dụng số phức để giải phương tŕnh, hệ phương tŕnh đại số.
Phần này hệ thống lại các kiến thức cơ bản của số phức Một số ứng dụng của số phức Phần này đưa ra một số ví dụ và phân tích áp dụng kiến thức lư thuyết 1. Các bài toán về phương tŕnh, hệ phương tŕnh đại số.
3. Các bài toán đếm 4. Các bài toán về đa thức a. Xác định đa thức b. Bài toán về sự chia hết của đa thức.
Tập các số phức được kí hiệu là C Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R C. Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. Số 0 = 0 + 0i vừa là số thực vừa là số ảo.
Số đối của số phức z = a + bi là số phức - z = - a – bi. Ta có z + (-z) = 0.
Nếu z = a + bi (a, b R) khác không th́ số phức nghịch đảo của z là Thương của số phức z cho số phức là: .
Số phức z = a + bi (a, b R) được biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay c̣n gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo Số phức z = a + bi (a, b R) cũng được biểu diễn bởi vectơ , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b R) cũng có nghĩa là biểu diễn số phức đó. Nếu theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' th́
Cho số phức z 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một acgumen của z. Chú ư: + Nếu là acgumen của z th́ mọi acgumen của z đều có dạng + k2 , k Z. + Acgumen của z 0 xác định sai khác k2 , k Z.
Cho số phức z = a+bi, (a, b R), với r = là modun của số phức z và là acgumen của số phức z. Dạng z = r (cos +isin ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z 0, c̣n dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z. 2.3 Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z = r(cos +isin ), z' = r' (cos '+isin ') (r và r' ) th́ zz' = (khi r' > 0). 2.4 Công thức Moa-Vrơ
3. Dạng mũ của số phức Kí hiệu , gọi là lũy thừa của với số mũ ảo. Cho , khi đó c̣n biểu diễn dưới dạng được gọi là dạng mũ của số phức . Các phép toán viết lại: ; ; ( ) ; Công thức Ơle (Euler): ; 4. Căn bậc của số phức. Cho số phức và số nguyên , số phức được gọi là căn bậc của nếu . Nếu , th́ căn bậc n của z gồm n số phân biệt xác định bởi:
Căn bậc n của số phức gọi là căn bậc n của đơn vị. Từ định nghĩa ta có các căn bậc n của đơn vị là: là một căn bậc n của đơn vị và được gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị nếu mọi số nguyên dương ta có . Tính chất của căn nguyên thủy bậc n của đơn vị: Nếu là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị th́ với Đặc biệt ta có II. MỘT SỐ ỨNG DỤNG SỐ PHỨC 1. Các bài toán về phương tŕnh, hệ phương tŕnh đại số. Một phương tŕnh với ẩn phức và với nghiệm , có thể giải bằng cách tách phần thực và phần ảo ta luôn có thể đưa về dạng hệ phương tŕnh. Chẳng hạn, để t́m căn bậc ba của số phức , ta t́m số phức sao cho . Bằng cách tách phần thực và phần ảo trong đẳng thức ta được hệ phương tŕnh: Giải hệ này, ta t́m được ; từ đó ta sẽ t́m được . Tuy nhiên, rơ ràng có thể t́m được bằng cách t́m căn bậc ba của , cụ thể là: nên ; Từ đó, ngược lại ta t́m được nghiệm của hệ phương tŕnh là: Như thế, một số hệ phương tŕnh có thể có ”xuất xứ” từ các phương tŕnh nghiệm phức. Bằng cách đi ngược lại quá tŕnh từ phương tŕnh nghiệm phức về hệ phương tŕnh, từ hệ phương tŕnh đă cho ta thu được phương tŕnh nghiệm phức gốc. Giải các phương tŕnh nghiệm phức này, so sánh phần thực và phần ảo, ta được nghiệm của hệ phương tŕnh. Ta xét ví dụ sau: Ví dụ 1. Giải các hệ phương tŕnh sau a. b. c. Giải:
a. Điều kiện đặt Hệ đưa về: V́ là b́nh phương modun của số phức , bằng cách cộng phương tŕnh thứ nhất với phương tŕnh thứ hai (sau khi nhân với ) ta được.
Mà Nên (3) được viết dưới dạng:
Từ đó suy ra Do đó, nghiệm của hệ pt đă cho là: b. Nhân hai vế của phương tŕnh thứ hai với rồi cộng với phương tŕnh thứ nhất ta được. (4) Giả sử (4) đưa về
Từ đó suy ra nghiệm của hệ ban đầu là c. Đkxđ: Đặt th́ hệ trở thành Từ hệ trên ta biến đổi về dạng số phức như sau:
Giải phương tŕnh (1) ta được nghiệm hoặc Do nên Hệ có nghiệm Trên thực tế, ta cũng có thể giải hệ trên bằng cách dùng biến đổi đại số, nhân x và y thích hợp vào từng vế của các phương tŕnh rồi trừ vế với vế thu được quan hệ đơn giản hơn giữa các biến này. Một số hệ sau cũng có cách giải tương tự: Hướng dẫn - đáp số 1. Nhân hai vế của phương tŕnh thứ 2 với rồi cộng với phương tŕnh thứ nhất ta được: với . Hệ có nghiệm 2. Đáp số 3. Đáp số 4. Đáp số 5. Đáp số 6. Xét Giả sử thay vào phương tŕnh ta được là nghiệm của hệ đă cho mà là căn bậc ba của . Có Nghiệm của hệ đă cho là: 2. Rút gọn một số tổng tổ hợp, chứng minh các đẳng thức tổ hợp. Gọi là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị th́ ta có ; mà Tính chất trên có ứng dụng khá hiệu quả trong việc rút gọn các tổng hợp, ta xét ví dụ sau: Ví dụ 2. Tính tổng Giải:
Xét đa thức Gọi là một căn nguyên thủy bậc ba của đơn vị ( có ) th́ bằng 0 nếu k không chia hết cho 3, bằng 3 nếu k chia hết cho 3. V́ thế mà Công thức Euler có thể đưa các tổng lượng giác thành các cấp số nhân hoặc công thức nhị thức Niutơn, cụ thể xét ví dụ sau: Ví dụ 3. a. Tính tổng . b. Chứng minh rằng Giải:
a. Xét , ta có So sánh phần thực, phần ảo ta được b. Ta có Do đó (đpcm) Với cách làm tương tự như trên, ta cũng chứng minh được đẳng thức Sử dụng công thức và biến đổi tương tự trên, ta chứng minh được các đẳng thức sau Bài tập tương tự 1. Tính các tổng sau: 2. Chứng minh đẳng thức sau: a. b. Hướng dẫn - đáp số 1. Xét Mà Từ đó suy ra:
Lại có suy ra 2. Xét Đạo hàm hai vế ta được Cho so sánh phần thực, phần ảo hai vế ta được các đẳng thức cần chứng minh. 3. Các bài toán đếm. Số phức có những ứng dụng rất hiệu quả trong các bài toán đếm và vai tṛ trung tâm trong kỹ thuật ứng dụng số phức vào các bài toán đếm tiếp tục lại là căn nguyên thủy của đơn vị. Với tính chất là một căn nguyên thủy bậc n của đơn vị th́ ta có: với Ví dụ 4. T́m số tất cả các số có n chữ số lập từ các chữ số 3, 4, 5, 6 và chia hết cho 3. Giải: Gọi là số các số có n chữ số thỏa măn đề bài. Gọi là một nghiệm của phương tŕnh Khi đó và nếu không chia hết cho 3 và nếu . Xét đa thức dễ thấy chính bằng tổng các hệ số của các số mũ chia hết cho 3 trong khai triển của . Nói cách khác, nếu th́ . Mà Do Ví dụ 5.(IMO1995) Cho p là một số nguyên tố lẻ, t́m số các tập con A của tập biết rằng a. A chứa đúng p phần tử. b. Tổng các phân tử của A chia hết cho p. Giải: Xét đa thức . Đa thức này có nghiệm phức phân biệt. Gọi là một nghiệm bất kỳ của . Chú ư rằng là nghiệm phân biệt của và . Theo định lư Viet có: Xét đa thức Gọi Giả sử khi đó với Nếu th́ nên trong đó là số các sao cho Mặt khác nên (*) Xét đa thức Do (*) nên là một nghiệm của mà và là một nghiệm bất kỳ của , nên và chỉ sai khác nhau hằng số nhân. Từ đó Suy ra Số các tập con A của tập hợp thỏa măn đề bài là:
Giải: Giả sử là nghiệm của . Khi đó cũng là nghiệm của . Thay bởi trong (1) ta được . V́ nên cũng là nghiệm của . Chọn là nghiệm có modun lớn nhất (nếu tồn tại vài nghiệm với modun lớn nhất, ta chọn một trong số các nghiệm đó) Từ cách chọn suy ra: và v́ cả và đều là nghiệm của . Ta có và
Vậy phải xảy ra dấu đẳng thức nên với là hằng số dương. Mà là lớn nhất nên . nên là thừa số của . Như vậy ta có thể viết: ; . Trong đó là đa thức không chia hết cho . Thế ngược trở lại vào (1) ta thấy thỏa măn: (2) Nếu phương tŕnh lại có nghiệm th́ lập luận như trên ta suy ra nghiệm có modun lớn nhất của nó phải là . Điều này không thể xảy ra v́ không chia hết . là một hằng số, giả sử ; , thay vào (2) ta được . Vậy các đa thức thỏa măn đề bài là , .
Giải:
Giả sử là nghiệm của . Khi đó từ phương tŕnh suy ra cũng là nghiệm của . Từ đây suy ra hoặc , v́ nếu ngược lại ta sẽ thu được dăy vô hạn các nghiệm phân biệt của . Tương tự là nghiệm của và lập luận tương tự, ta cũng được hoặc . Giả sử rằng và . Ta viết từ đây suy ra hay hoặc . Giả sử , xét cũng là nghiệm của , như vậy cũng là nghiệm của và mâu thuẫn v́ mọi nghiệm của đều có modun bằng hoặc . Tương tự trên với trường hợp . Như vậy có thể kết luận hoặc . Từ đây có dạng là hằng số và thay vào phương tŕnh đă cho ta dễ dàng kiểm tra được và . Vậy các đa thức thỏa măn: . b. Bài toán về sự chia hết của đa thức Ta biết rằng, nếu đa thức chia hết cho đa thức th́ mọi nghiệm của đều là nghiệm của . Tính chất đơn giản này là ch́a khóa để giải nghiệm bài toán về sự chia hết của đa thức. Ví dụ 8. Với giá trị nào của th́ chia hết cho đa thức Giải: Ta có là nghiệm của . Đa thức chia hết cho khi và chỉ khi điều này tương đương với
Vậy với hoặc ; th́ chia hết cho . Ví dụ dưới đây, một lần nữa, căn của đơn vị lại đóng vai tṛ then chốt. Ví dụ 9.(USA MO 1976) Cho là các đa thức sao cho Chứng minh rằng chia hết cho Giải: Đặt th́ và Thay lần lượt bởi vào (1) ta được phương tŕnh Nhân các phương tŕnh từ (2) đến (5) lần lượt với ta được Cộng vế với vế các đẳng thức trên và áp dụng ta được Cộng vế với vế của (2), (3), (4), (5), (6) suy ra suy ra chia hết cho
Đáp số
1. ; ; 2. Ta được dăy nghiệm: ; 3. 4. ---------------------------------- PHẦN III: KẾT LUẬN KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Việc học tập sáng kiến kinh nghiệm sẽ thu được kết quả tốt nếu đảm bảo các yêu cầu sau: Học sinh phải có tŕnh độ nhận thức và tư duy tương đối tốt. Nắm vững các kiến thức cơ bản về số phức: dạng đại số, dạng lượng giác, công thức Moavrơ, căn bậc n của đơn vị,... và các kiến thức đại số, tổ hợp như: nghiệm đa thức, tính chất của số …. Hiểu và sử dụng chính xác thuật ngữ, kí hiệu toán học. Xuất phát từ đối tượng học đều là học sinh khá, giỏi, nên khả năng tiếp thu kiến thức khá nhanh và chắc chắn. Đó là tiền đề rất tốt để có thể truyền thụ một khối lượng kiến thức trong cùng một đơn vị thời gian nhiều hơn so với học sinh khác. Giáo viên cần biết tận dụng có hiệu quả những khả năng đó, chẳng hạn, bằng cách đưa tài liệu, yêu cầu học sinh tự nghiên cứu trước sau đó tŕnh bày, đưa ra nhận xét, kết quả thu được trong tiết học chuyên đề….Như vậy sẽ giúp học sinh lĩnh hội kiến thức sâu sắc hơn, tạo điều kiện để các em bước đầu tập dượt nghiên cứu khoa học. 1. Kết quả thực tiễn Qua thực tế, trực tiếp giảng dạy sáng kiến kinh nghiệm này trong các tiết chuyên đề của lớp 11 Toán và bồi dưỡng học sinh dự thi học sinh giỏi quốc gia môn Toán 12 tại trường THPT chuyên Hưng Yên từ năm học 2010 - 2011, với lượng kiến thức vừa phải và hệ thống ví dụ phù hợp đă giúp học sinh tiếp thu khá tốt, kích thích và phát huy khả năng tư duy, vận dụng tổng hợp kiến thức một cách lôgic, say mê tự giác học tập, gợi mở óc t́m ṭi sáng tạo khoa học. Học sinh đội tuyển lớp 12 dự thi học sinh giỏi quốc gia đă tự tin hơn khi gặp các bài toán về đa thức và tổ hợp. Kết quả thi chọn học sinh giỏi quốc gia môn Toán lớp 12: Năm học 2010 - 2011 có 5/6 học sinh đạt giải Năm học 2011 - 2012 có 6/6 học sinh đạt giải Năm học 2012 - 2013 có 8/8 học sinh đạt giải Năm học 2013 - 2014 có 5/8 học sinh đạt giải Kết quả thi chọn học sinh giỏi khu vực Duyên hải và đồng bằng Bắc Bộ môn Toán lớp 10, lớp 11: Năm học 2010 - 2011 có 6/6 học sinh đạt giải, trong đó có 2 giải nh́. Năm học 2011 - 2012 có 6/6 học sinh đạt giải, trong đó có 1 giải nh́. Năm học 2012 - 2013 có 6/6 học sinh đạt giải. Năm học 2013 – 2014 có 5/6 học sinh đạt giải, trong đó có 1 giải nhất. Kết quả thi chọn học sinh giỏi tỉnh Hưng Yên môn Toán lớp 12: Năm học 2010 - 2011 có 9/10 học sinh đạt giải Năm học 2011 - 2012 có 10/12 học sinh đạt giải Năm học 2012 - 2013 có 10/10 học sinh đạt giải
Khi dạy một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp, cần nhấn mạnh kết quả áp dụng, khắc sâu ví dụ. Sau mỗi ứng dụng, yêu cầu học sinh nhận xét, lấy ví dụ minh họa, liên hệ đến các trường hợp riêng, trường hợp đặc biệt, nh́n nhận, so sánh với các cách giải khác đă được học. Từ đó tiết dạy đạt hiệu quả cao hơn, rèn được tính chủ động lĩnh hội kiến thức của học sinh, ư thức học tập nghiêm túc, có khả năng cảm nhận toán học tốt hơn. Sáng kiến kinh nghiệm này được giảng dạy cho các thế hệ học sinh các lớp chuyên toán, nên cần được thường xuyên trao đổi, cập nhật liên tục, bổ sung thêm ứng dụng của số phức trong chứng minh đa thức bất khả quy, giải phương tŕnh nghiệm nguyên,... và biết vận dụng các ứng dụng đó để giải các bài toán tương tự.
Nội dung sáng kiến kinh nghiệm này được dùng cho các tiết học chuyên đề. Tùy theo sự phân bố tiết học của từng chuyên đề đă được quy định, tuỳ theo khả năng tiếp thu của học sinh, giáo viên cần phải biết linh hoạt kết hợp, lồng ghép các kiến thức về số phức, các tính chất của số công thức khai triển nhị thức NiuTơn, định lư về nghiệm đa thức,... để việc chứng minh các bài toán trở lên dễ dàng hơn. Do thời gian nghiên cứu hạn chế, sáng kiến kinh nghiệm này mới chỉ đưa ra một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp, ta có thể tiếp tục nghiên cứu ứng dụng số phức trong h́nh học, số học,... Đây là sáng kiến kinh nghiệm của bản thân tôi viết, không sao chép nội dung của người khác, v́ vậy với khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn, nên mức độ thành công của sáng kiến kinh nghiệm c̣n nhiều hạn chế, tôi rất mong nhận được sự động viên và những ư kiến đóng góp chân thành của quư Thầy cô, bạn bè đồng nghiệp và các em học sinh. Hưng Yên, ngày 15 tháng 3 năm 2014 Tác giả Đặng Thị Mến TÀI LIỆU THAM KHẢO [1]. Bộ Giáo Dục và Đào Tạo - “Giải Tích 12 Nâng Cao”(Tái bản lần thứ tư), NXBGD - 2012. [2]. Đoàn Quỳnh - Trần Nam Dũng - Nguyễn Vũ Lương - Đặng Hùng Thắng - “Tài liệu chuyên Toán - Đại Số và Giải Tích 11”, NXBGD - 2010. [3]. Nguyễn Văn Mậu - Trần Nam Dũng - Nguyễn Đăng Phất - Nguyễn Thủy Thanh - “ Chuyên đề chọn lọc - Số Phức và Áp Dụng”, NXBGD - 2009. [4]. Bộ Giáo dục và Đào tạo – “Tạp chí Toán học và tuổi trẻ”, NXBGD. ------------------------------- MỤC LỤC MụcNội dungTrangPhần I: Phần lí lịch1Phần II: Phần nội dung Mở đầu 2
Каталог: admin -> FileStore -> file -> SKKN%202014 SKKN%202014 -> PHẦn I : LỜi nóI ĐẦu lý do chọn đề tài admin -> CỤC ĐIỀu tiếT ĐIỆn lựC SKKN%202014 -> SỞ giáo dục và ĐÀo tạo hưng yên trưỜng thpt trần quang khải sáng kiến kinh nghiệM SKKN%202014 -> A. MỞ ĐẦu I. ĐẶt vấN ĐỀ. Thực trạng vấn đề SKKN%202014 -> SỞ giáo dục và ĐÀo tạo hưng yên trưỜng thpt nguyễn siêU file -> Kinh nghiệm: Ứng dụng cntt vào giảng dạy môn Âm nhạc ở bậc thcs. Phần I: ĐẶt vấN ĐỀ file -> Tæ sinh – c ng nghÖ S¸ng kiÕn kinh nghiÖm SKKN%202014 -> Trêng SỞ giáo dục và ĐÀo tạo hưng yên trưỜng thpt phù CỪ tải về 385.62 Kb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|