Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
Bước tới: menu, tìm kiếm
Số nguyên tố Mersenne là một số Mersenne (số có dạng lũy thừa của 2 trừ 1: 2n − 1, một số định nghĩa yêu cầu lũy thừa (n) phải là số nguyên tố) và là một số nguyên tố: ví dụ 31 là số nguyên tố Mersenne vì 31 = 25 − 1, và 31 là số nguyên tố.
Điều kiện cần để Mn là số nguyên tố là n là số nguyên tố, 24 -1 = 15 là hợp số vì 4 không là nguyên tố, nhưng ngược lại không đúng: ví dụ số Mersenne 2047 = 211 − 1 không là nguyên tố vì nó chia hết cho 89 và 23, mặc dù số 11 là số nguyên tố.
Hiện nay, các số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy thường là số nguyên tố Mersenne.
Các số nguyên tố Mersenne có quan hệ chặt chẽ với các số hoàn thiện, nghĩa là các số bằng tổng các ước chân chính của nó. Trong lịch sử, việc nghiên cứu các số nguyên tố Mersenne đã từng bị thay đổi do các liên quan này; vào thế kỷ 4 TCN, Euclid phát biểu rằng nếu M là số nguyên tố Mersenne thì M(M+1)/2 là số hoàn thiên. Vào thế kỷ 18, Leonhard Euler chứng minh rằng tất cả các số hoàn thiện chẵn đều có dạng này. Không một số hoàn thiện lẻ nào được biết, và người ta nghi ngờ rằng chúng không tồn tại.
Tìm các số nguyên tố Mersenne
Đẳng thức
cho biết rằng Mn có thể là số nguyên tố chỉ nếu chính n là số nguyên tố, điều đó làm giản lược bớt việc tìm các số nguyên tố Mersenne. Mệnh đề đảo, nói rằng Mn là số nguyên tố nếu n là số nguyên tố là sai. Số nhỏ nhất cho ví dụ này là 2¹¹-1 = 23×89, là hợp số.
Đã có các thuật toán nhanh để tìm số nguyên tố Mersenne, do đó hiện nay đã biết các số nguyên tố Mersenne rất lớn.
Bốn số nguyên tố Mersenne đầu tiên M2 = 3, M3 = 7, M5 = 31 và M7 = 127 đã được biết từ cổ xưa. Số thứ năm, M13 = 8191, được tìm thấy vào trước năm 1461; hai số tiếp theo (M17 và M19) tìm thấy bởi Cataldi vào năm 1588. Sau hơn một thế kỷ M31 được kiểm tra bởi Euler vào năm 1750. Số tiếp theo (trong lịch sử, không theo thứ tự số) là M127, do Lucas tìm thấy vào năm 1876, sau đó M61 do Pervushin tìm vào năm 1883. Hai số nữa (M89 và M107) được tìm thấy vào thế kỷ 20, bởi Powers vào năm 1911 và 1914.
Từ thế kỷ 17, các số này được mang tên nhà toán học Pháp Marin Mersenne, người đã chứng minh một loạt các số nguyên tố Mersenne với số mũ lên tối 257. Danh sách của ông đã mắc một số sai lầm, như bao gồm cả M67, M257, và bỏ quên M61, M89 và M107.
Phương pháp tốt nhất để kiểm tra tính nguyên tố của các số Mersenne được dựa vào sự tính toán một dãy tuần hoàn, được phát biểu đầu tiên bởi Lucas năm 1878 và chứng minh bởi Lehmer vào những năm 1930. Hiện nay nó được gọi là kiểm tra Lucas-Lehmer với số nguyên tố Mersenne. Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng (với n > 2) Mn = 2n − 1 là số nguyên tố nếu và chỉ nếu Mn chia hết cho Sn-2, trong đó S0 = 4 và với k > 0, .
Đồ thị biểu diễn số các chữ số của số nguyên tố Mersenne lớn nhất đã biết theo từng năm của kỷ nguyên điện tử. Chú ý rằng trục tung độ đã được logarithm hóa.
Việc tìm các số nguyên tố Mersenne thực sự được cách mạng bởi các máy tính điện tử số. Thành công đầu tiên của tư tưởng này thuộc về số nguyên tố Mersenne, M521, nhờ nỗ lực khéo léo vào lúc 10:00 P.M. ngày 30-1, 1952 khi sử dụng máy tính tự động Western U.S. National Bureau of Standards (SWAC) tại Institute for Numerical Analysis thuộc Đại học California tại Los Angeles, dưới sự điều khiển trực tiếp của Lehmer, sử dụng chương trình viết và chạy bởi GS R.M. Robinson. Nó là số nguyên tố Mersenne đầu tiên tìm thấy sau 38 năm; số tiếp theo, M607, đã được tìm thấy do computer này sau gần hai giờ chạy máy. Ba số tiếp theo — M1279, M2203, M2281 — đã được tìm thấy với cùng chương trình trên sau nhiều tháng nữa. M4253 là số nguyên tố Mersenne đầu tiên là số nguyên tố siêu lớn (trên 1000 chữ số thập phân-titanic), và M44497 là số nguyên tố đẩu tiên có trên 10.000 chữ số thập phân (gigantic).
Đến tháng 9 năm 2008, chỉ mới biết 46 số nguyên tố Mersenne; số lớn nhất đã biết là số (243 112 609 − 1). Cũng như nhiều số nguyên tố Mersenne trước đó, nó được tìm ra nhờ dự án tính toán phân tán trên Internet, được biết với tên gọi Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên Internet (Great Internet Mersenne Prime Search - GIMPS).
Các định lý về số nguyên tố Mersenne -
Nếu n là số nguyên dương, theo định lý nhị thức ta có thể viết:
,
hay
nhờ đặt c = 2a, d = 1, và n = b
chứng minh
= an − bn
-
Nếu 2n − 1 là số nguyên tố, thì n là số nguyên tố.
Chứng minh
Do
Nếu n không là nguyên tố, hoặc n = ab trong đó 1 < a,b < n. Do đó, 2a − 1 là ước của 2n − 1, hoặc 2n − 1 không là nguyên tố.
Danh sách các số nguyên tố Mersenne đã biết
(sequence A000668 in OEIS):
#
|
n
|
Mn
|
Số chữ số trong Mn
|
Ngày tìm được
|
Người tìm
|
1
|
2
|
3
|
1
|
cổ đại
|
Hy Lạp cổ đại
|
2
|
3
|
7
|
1
|
cổ đại
|
Hy Lạp cổ đại
|
3
|
5
|
31
|
2
|
cổ đại
|
Hy Lạp cổ đại
|
4
|
7
|
127
|
3
|
cổ đại
|
Hy Lạp cổ đại
|
5
|
13
|
8191
|
4
|
1456
|
Khuyết danh
|
6
|
17
|
131071
|
6
|
1588
|
Cataldi
|
7
|
19
|
524287
|
6
|
1588
|
Cataldi
|
8
|
31
|
2147483647
|
10
|
1750
|
Euler
|
9
|
61
|
2305843009213693951
|
19
|
1883
|
Pervushin
|
10
|
89
|
618970019…449562111
|
27
|
1911
|
Powers
|
11
|
107
|
162259276…010288127
|
33
|
1914
|
Powers
|
12
|
127
|
170141183…884105727
|
39
|
1876
|
Lucas
|
13
|
521
|
686479766…115057151
|
157
|
30 tháng 1 năm 1952
|
Robinson
|
14
|
607
|
531137992…031728127
|
183
|
30 tháng 1 năm 1952
|
Robinson
|
15
|
1 279
|
104079321…168729087
|
386
|
25 tháng 6 năm 1952
|
Robinson
|
16
|
2 203
|
147597991…697771007
|
664
|
7 tháng 10 năm 1952
|
Robinson
|
17
|
2 281
|
446087557…132836351
|
687
|
9 tháng 10 năm 1952
|
Robinson
|
18
|
3 217
|
259117086…909315071
|
969
|
8 tháng 9 năm 1957
|
Riesel
|
19
|
4 253
|
190797007…350484991
|
1 281
|
3 tháng 11 năm 1961
|
Hurwitz
|
20
|
4 423
|
285542542…608580607
|
1 332
|
3 tháng 11 năm 1961
|
Hurwitz
|
21
|
9 689
|
478220278…225754111
|
2 917
|
11 tháng 5 năm 1963
|
Gillies
|
22
|
9 941
|
346088282…789463551
|
2 993
|
16 tháng 5 năm 1963
|
Gillies
|
23
|
11 213
|
281411201…696392191
|
3 376
|
2 tháng 6 năm 1963
|
Gillies
|
24
|
19 937
|
431542479…968041471
|
6 002
|
4 tháng 3 năm 1971
|
Tuckerman
|
25
|
21 701
|
448679166…511882751
|
6 533
|
30 tháng 10 năm 1978
|
Noll & Nickel
|
26
|
23 209
|
402874115…779264511
|
6 987
|
9 tháng 2 năm 1979
|
Noll
|
27
|
44 497
|
854509824…011228671
|
13 395
|
8 tháng 4 năm 1979
|
Nelson & Slowinski
|
28
|
86 243
|
536927995…433438207
|
25 962
|
25 tháng 9 năm 1982
|
Slowinski
|
29
|
110 503
|
521928313…465515007
|
33 265
|
28 tháng 1 năm 1988
|
Colquitt & Welsh
|
30
|
132 049
|
512740276…730061311
|
39 751
|
20 tháng 9 năm 1983
|
Slowinski
|
31
|
216 091
|
746093103…815528447
|
65 050
|
6 tháng 9 năm 1985
|
Slowinski
|
32
|
756 839
|
174135906…544677887
|
227 832
|
19 tháng 2 năm 1992
|
Slowinski & Gage trên Cray-2 tại Phòng thí nghiệm Harwell [1]
|
33
|
859 433
|
129498125…500142591
|
258 716
|
10 tháng 1 năm 1994
|
Slowinski & Gage
|
34
|
1 257 787
|
412245773…089366527
|
378 632
|
3 tháng 9 năm 1996
|
Slowinski & Gage [2]
|
35
|
1 398 269
|
814717564…451315711
|
420 921
|
13 tháng 11 năm 1996
|
GIMPS / Joel Armengaud [3]
|
36
|
2 976 221
|
623340076…729201151
|
895 932
|
24 tháng 8 năm 1997
|
GIMPS / Gordon Spence [4]
|
37
|
3 021 377
|
127411683…024694271
|
909 526
|
27 tháng 1 năm 1998
|
GIMPS / Roland Clarkson [5]
|
38
|
6 972 593
|
437075744…924193791
|
2 098 960
|
1 tháng 6 năm 1999
|
GIMPS / Nayan Hajratwala [6]
|
39
|
13 466 917
|
924947738…256259071
|
4 053 946
|
14 tháng 11 năm 2001
|
GIMPS / Michael Cameron [7]
|
40*
|
20 996 011
|
125976895…855682047
|
6 320 430
|
17 tháng 11 năm 2003
|
GIMPS / Michael Shafer [8]
|
41*
|
24 036 583
|
299410429…733969407
|
7 235 733
|
15 tháng 5 năm 2004
|
GIMPS / Josh Findley [9]
|
42*
|
25 964 951
|
122164630…577077247
|
7 816 230
|
18 tháng 2 năm 2005
|
GIMPS / Martin Nowak [10]
|
43*
|
30 402 457
|
315416475…652943871
|
9 152 052
|
15 tháng 12 năm 2005
|
GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [11]
|
44*
|
32 582 657
|
124575026…053967871
|
9 808 358
|
4 tháng 9 năm 2006
|
GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [12]
|
45*
|
37 156 667
|
202254406…308220927
|
11 185 272
|
6 tháng 9 năm 2008
|
GIMPS / Hans-Michael Elvenich
|
46*
|
43 112 609
|
316470269…697152511
|
12 978 189
|
23 tháng 8 năm 2008
|
GIMPS / Edson Smith
| -
Chưa khẳng định được có số nguyên tố Mersenne nào nằm giữa số thứ 39 (M 13 466 917) và 46 (M43 112 609) trong bảng mà chưa được phát hiện hay không, do đó thứ tự các số đó là tạm thời. Một ví dụ là số thứ 29 được phát hiện ra sau số thứ 30 và 31, số thứ 46 cũng được công bố trước số 45 2 tuần.
-
Để hình dung độ lớn của số nguyên tố lớn nhất được tìm thấy (số thứ 46), cần có 3 461 trang giấy để biểu diễn số đó với các chữ số trong hệ cơ số 10, 75 chữ số một dòng và 50 dòng một trang.
Chia sẻ với bạn bè của bạn: |