Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ViÖn to¸n häc MỘt số kiến thức về HÌnh olympiad
tải về 332.61 Kb.
|
- Điều hướng trang này:
- Thanh Ho¸, th¸ng 01-2010 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH OLYMPIAD
- Bây giờ sẽ là nội dung chính A/ MỤC LỤC
- II/Một số điểm và đường đặc biệt được xác định duy nhất với tam giác và tứ giác,tứ điểm : Ở đây nếu không giải thích gì thêm thì yếu tố được hiểu là trong tam giác.
- III/Một số mảng kiến thức quan trọng.
- IV/Một số định lí không chứng minh
- B/MỘT SỐ KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÍ. I.1)Định lí Menelaus Định lí
- I.2)Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích Định lí
- I.3)Định lí Menelaus cho tứ giác : Định lí
- I.4) Định lý Ceva Định lý
- I.5) Định lý Ceva sin Định lý
- I.6) Định lý Desargues Định lý
- I.7)Định lí Pappus Định lí
- I.8)Một trường hợp đặc biệt của định lí Pappus qua góc nhìn hình xạ ảnh.
- Định lí
- I.9)Đẳng thức Ptolemy Định lí
- I.10) Bất đẳng thức Ptolemy Định lý
- KHÁM PHÁ ĐỊNH LÍ PTÔ-LÊ-MÊ tác giả:Zai zai Mở đầu
- II, Nội dung - Lí thuyết
- III, Ứng dụng của định lí Ptô-lê-mê trong việc chứng minh các đặc tính hình học
|
Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o ViÖn to¸n häc 
MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH OLYMPIAD Ngêi ViÕt : Ths Lª §×nh HËu Chøc vô : Gi¸o viªn §¬n vÞ c«ng t¸c : Trêng THPT Quan Ho¸, tØnh thanh ho¸ Thanh Ho¸, th¸ng 01-2010 MỘT SỐ KIẾN THỨC VỀ HÌNH OLYMPIAD (Mathscope.org) Những kiến thức sau đây gồm một số kiến thức cơ sở để khám phá hình học olympiad hoặc là những kết quả đẹp nổi tiếng :hornytoro:.Bài viết này được soạn ra nhằm đáp ứng nhu cầu tra cứu ,học hỏi của nhiều bạn đọc. Nó sẽ cần sự chung tay của nhiều thành viên !. Đầu tiên mình sẽ giới thiệu mục lục và nếu ai biết phần kiến thức ấy thì có thể post lên , nhưng để đảm bảo cho tính hệ thống , chặt chẽ và dễ theo dõi của bài viết ,mình xin nêu một số quy ước như sau: 1) Mỗi bài viết đều phải vẽ hình minh họa. 2)Mỗi bài viết chỉ đề cập đến 1 đề mục kiến thức. 3) Phải đảm bảo thứ tự nêu trong mục lục. 4)Chúng tôi chỉ giữ lại những trao đổi có ích kể từ sau khi hoàn thành mục lục, điều đó có nghĩa là những trao đổi chen giữa không bị xóa lúc này nhưng sẽ bị xóa khi mục lục được hoàn tất.. Bây giờ sẽ là nội dung chính 
A/ MỤC LỤC I/ Một số định nghĩa ,định lí , điểm và đường đặc biệt không duy nhất : I.1)Định lí Menelaus I.2)Mở rộng định lí Menelaus theo diện tích I.3)Định lí Menelaus cho tứ giác I.4)Định lí Ceva I.5)Định lí Ceva dạng sin I.6)Định lí Desargues I.7)Định lí Pappus I.8)Một trường hợp đặc biệt của định lí Pappus qua góc nhìn hình xạ ảnh. I.9)Đẳng thức Ptolemy I.10)Bất đẳng thức Ptolemy I.11)Định lí Pascal I.12)Định lí Brianchon I.13)Định lí Miquel I.14)Công thức Carnot I.15)Định lí Carnot I.16)Định lí Brokard I.17)Định lí Euler về khoảng cách giữa tâm 2 đường tròn nội, ngoại tiếp của tam giác I.18)Định lí Euler về khoảng cách giữa tâm 2 đường tròn nội, ngoại tiếp của tứ giác (Định lí Fuss) I.19)Định lí Casey I.20)Định lí Stewart I.21)Định lí Lyness I.22)Định lí Lyness mở rộng (Bổ đề Sawayama) I.23)Định lí Thébault I.24)Công thức Jacobi liên quan đến tâm tỉ cự,định lí Lebnitz I.25)Định lí Newton cho tứ giác ngoại tiếp I.26)Định lí Breichneider I.27)Định lí con nhím I.28)Định lí Gergonne -Euler I.29)Định lí Peletier I.30)Định lí Miobiut I.31)Định lí Viviani I.32)Công thức Lagrange mở rộng I.33) Đường thẳng Simson I.34)Đường thẳng Steiner I.35) Điểm Anti-Steiner (Định lí Collings) I.36)Định lí Napoleon I.37)Định lí Morley I.38)Định lí con bướm với đường tròn I.39)Định lí con bướm với cặp đường thẳng I.40)Điểm Blaikie I.41)Định lí chùm đường thẳng đồng quy I.42)Đường tròn Apollonius I.43)Định lí Blanchet I.44)Định lí Blanchet mở rộng I.45) Định lí Jacobi I.46) Định lí Kiepert I.47)Định lí Kariya I.48)Cực trực giao I.49)Khái niệm tam giác hình chiếu ,công thức Euler về diện tích tam giác hình chiếu I.50)Khái niệm hai điểm đẳng giác I.51)Khái niệm tứ giác toàn phần. I.52)Đường thẳng Droz-Farny I.53) Đường tròn Droz-Farny I.54)Định lí Van Aubel về tứ giác và các hình vuông dựng trên cạnh I.55)Hệ thức Van Aubel I.56)Định lí Pithot I.57)Định lí Johnson I.58) Định lí Eyeball I.59) Bổ đề Haruki I.60)Bài toán Langley I.61)Định lí Paul Yiu về đường tròn bàng tiếp. I.62)Định lí Maxwell I.63)Định lí Brahmagupta về tứ giác nội tiếp có hai đường chéo vuông góc. I.64)Định lí Schooten I.65)Định lí Bottema I.66)Định lí Pompeiu I.67)Định lí Zaslavsky I.68)Định lí Archimedes I.69) Định lí Urquhart I.70)Định lí Mairon Walters I.71)Định lí Poncelet về bán kính đường tròn nội tiếp,bàng tiếp trong tam giác vuông. I.72)Định lí Hansen I.73)Định lí Steinbart suy rộng I.74)Định lí Monge & d'Alembert I I.75)Định lí Monge & d'Alembert II I.76)Định lí Steiner về bán kính các đường tròn. I.77)Định lí Bellavitis I.78)Định lí Feuer bach-Luchterhand: II/Một số điểm và đường đặc biệt được xác định duy nhất với tam giác và tứ giác,tứ điểm: Ở đây nếu không giải thích gì thêm thì yếu tố được hiểu là trong tam giác. II.1) Đường thẳng Euler của tam giác II.2)Đường tròn và tâm Euler II.3)Đường đối trung, điểm Lemoine II.4)Điểm Gergone,điểm Nobb, đường thẳng Gergone II.5)Điểm Nagel II.6)Điểm Brocard II.7)Điểm Schiffler II.8)Điểm Feuerbach II.9)Điểm Kosnita II.10)Điểm Musselman,định lí Paul Yiu về điểm Musselman II.11)Khái niệm vòng cực của tam giác. II.12)Điểm Gibert II.13)Trục Lemoine II.14)Tâm Morley II.15) Tâm Spieker và đường thẳng Nagel II.16)Hai điểm Fermat II.17)Điểm Parry reflection. II.18)Đường tròn Taylor ,tâm Taylor II.19)Điểm Bevan II.20)Điểm Vecten II.21)Điểm Mittenpunkt II.22)Điểm Napoleon II.23)Đường tròn Adam II.24)Tam giác Fuhrmann ,đường tròn Fuhrmann II.25)Hình luc giác và đường tròn Lemoine thứ nhất II.26)Hình lục giác và đường tròn Lemoine thứ hai II.27)Điểm Euler của Tứ giác nội tiếp II.28)Đường thẳng Steiner của tứ giác toàn phần II.29)Đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần. II.30) Điểm Miquel của tứ giác toàn phần II.31)Đường tròn Miquel của tứ giác toàn phần II.32)Hình bình hành Varignon của tứ giác . II.33)Điểm Poncelet của tứ giác. III/Một số mảng kiến thức quan trọng. III.1)Tỉ số kép, phép chiếu xuyên tâm III.2)Hàng điểm điều hòa và một số hệ thức liên quan , III.3)Chùm điều hòa, tứ giác điều hòa III.4)Góc giữa đường thẳng và đường tròn, giữa hai đường tròn, đường tròn trực giao III.5) Cực và đối cực IV/Một số định lí không chứng minh Ở đây sẽ giới thiệu một số định lí rất hay và dễ hiểu ( nhưng cách chứng minh mà mình biết là phức tạp ) tuy nhiên rất vui nếu ai đó sẽ giới thiệu những chứng minh của nó:hornytoro: IV.1) Định lí Aiyer IV.2)Đường tròn Lester IV.3)Tâm Eppstein IV.4)Đường tròn Neuberg-Mineur của tứ giác IV.5)Paracevian perspector B/MỘT SỐ KHÁI NIỆM, ĐỊNH LÍ. I.1)Định lí Menelaus Định lí: Cho tam giác ABC và 3 điểm M,N,P lần lượt thuộc BC,CA,AB. Khi đó M,N,P thẳng hàng khi và chỉ khi:  (1)
Chứng minh: 
a)Khi M,N,P thẳng hàng. Trên MN lấy 1 điểm Q sao cho AQ//BC Theo Thales ; 
Từ đó dễ có đẳng thức (1)trên. b)Ngược lại ,khi có (1): Giả sử PN cắt BC tại M'. Theo phần trước ta có: 
Kết hợp với (1) suy ra 
Do đó M trùng M' tức là M,N,P thẳng hàng. Vậy ta có điều phải chứng minh. (Xem them : eeg-11.bdf; ge_G1.bdf; 6-concur-solns.bdf)
Gọi Ta có: 
mặt khác : 
tương tự: 
Ta suy ra: 
I.3)Định lí Menelaus cho tứ giác: Định lí:Cho tứ giác ABCD và một đường thẳng d cắt AB,BC,CD,DA lần lượt ở M,N,P,Q. Khi đó ta có: 
Chứng minh: Ta sẽ làm giống cách chứng minh ở tam giác
Trên d lấy hai điểm I,J sao cho AI//BJ//CD Theo Thales ta có: 
Từ đó dễ có điều cần chứng minh. *Chú ý 1)Khi áp dụng cho tứ giác ,định lí Menelaus chỉ phát biểu dạng thuận bởi dạng đảo nói chung không đúng! 2) Các bạn thử suy nghĩ xem với dạng thuận như thế này thì có thể mở rộng cho đa giác được không? -Một vấn đề khá thú vị
I.4) Định lý Ceva Định lý: Cho tam giác ABC.Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên BC, CA, AB. Ba đường thẳng AE, BF, CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi: 
Chứng minh: Phần thuận: Giả sử ba đường thẳng AE, BF, CG cắt nhau tại một điểm O. TỪ A và C, kẻ các đường song song với BF, chúng lần lượt cắt CG và AE tại K, I tương ứng. Ta có:  và  (Sử dụng định lý Thales)
 . Các cặp tam giác đồng dạng IEC và OEB, AKG và BOG :  và 
Do đó: 
Phần đảo: Giả sử ta có:
Qua giao điểm của các đường thẳng AE và BF, kẻ đường thẳng  với  nằm trên cạnh AB. Khi đó, theo chứng minh phần thuận: 
Suy ra I.5) Định lý Ceva sin Định lý: Gọi E, F, G là ba điểm tương ứng nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB của tam giác ABC. Ba đường thẳng AE, BF, CG cắt nhau tại một điểm O khi và chỉ khi: 
Chứng minh: Phần thuận: Giả sử AE, BF, CG đồng quy tại O. Khi đó hai tam giác ABE và ACE có cùng chiều cao hạ từ đỉnh A. 
Tương tự 
Và 
Nhân từng vế ba đẳng thức trên được:  (Theo định lý Ceva)
Từ đó suy ra đpcm. Phần đảo: CM tương tự phần đảo ở mục 4. I.6) Định lý Desargues Định lý: Cho tam giác ABC và tam giác A'B'C'. Khi đó AA', BB', CC' đồng quy khi và chỉ khi các giao điểm của BC và B'C', CA và C'A', AB và A'B' thẳng hàng. 
Chứng minh: Gọi X, Y, Z là lần lượt là các giao điểm của các cặp cạnh BC và B’C’, CA và C’A’, AB và A’B’ . Phần thuận:
Tương tự, ta có:  và 
Nhân từng vế các đẳng thức trên lại với nhau, và theo định lí Menelaus suy ra X, Y, Z thẳng hàng. Phần đảo:
Bổ đề trên bạn đọc tự chứng minh, bây giờ ta sẽ trở lại bài toán. Kí hiệu  là phép chiếu xuyên tâm E.
Gọi T,Q lần lượt là giao điểm của BX và AZ; CX và BZ. Sử dụng bổ đề trên thì ta sẽ cần chứng minh: (BTMX) =(BZPQ) +)Trường hợp a//b bạn đọc hãy chứng minh nhờ Thales +)Khi a không song song với b.Gọi S là giao của a và b.
Ở phần này chúng tôi chỉ dùng hình xạ ảnh để dẫn dắt đến kết quả còn nội dung định lí và cách chứng minh thì hoàn toàn phù hợp với kiến thức hình THCS! Ta có kết quả sau liên quan đến hình xạ ảnh: Các đường thẳng song song với nhau thì gặp nhau tại một điểm ở vô cực và ngược lại . Vận dụng vào định lí Pappus ở trên , cho các điểm A,B,C ra vô cực thì theo kết quả về hình xạ ảnh ta có YM//ZN ( Vì YM,ZN cùng đi qua một điểm (A) ở vô cực )Tương tự thì :XN//YP,XM//ZP. Và khi ấy M,N,P vẫn thẳng hàng. Ta phát biểu lại được một định lí đơn giản và hữu dụng sau đây: Định lí:Trên mặt phẳng cho ba điểm X,Y,Z thẳng hàng và ba điểm M,N,P thỏa mãn XN//YP,YM//ZN,XM//ZP. Khi đó ta cũng có M,N,P thẳng hàng. Chứng minh: 
Trường hợp MP//XYZ thì đơn giản,bạn đọc tự chứng minh. Ta sẽ xét khi MP không song song với XYZ. Gọi S là giao điểm của MP với XYZ. Đường thẳng qua X song song với YP cắt MP ở N'. Bài toán sẽ được gải quyết nếu ta chứng minh được rằng ZN' // YM (Vì khi ấy N' trùng N). Thật vậy,chú ý YP//XN', ZP//XM nên theo Thales ta có: 
Đến đây theo Thales đảo ta suy ra ZN' //YM. Chứng minh được hoàn tất.! I.9)Đẳng thức Ptolemy Định lí Với tứ giác nội tiếp ABCD thì: AB.CD+AD.BC=AC.BD Chứng minh: 
Lấy điểm E thuộc AC sao cho 
 đồng dạng 
Tương tự I.10) Bất đẳng thức Ptolemy Định lý: Cho tứ giác ABCD. Khi đó có 
Chứng minh: Lấy E nằm trong tứ giác ABCD sao cho  và 
Khi đó  ~  hay  .
Hơn nữa  ~  hay 
Vậy ta có  (đpcm).
KHÁM PHÁ ĐỊNH LÍ PTÔ-LÊ-MÊ tác giả:Zai zai
Bài toán 2: Tam giác  vuông có  . Gọi  là một điểm trên cạnh  là một điểm trên cạnh  kéo dài về phía điểm  sao cho  . Gọi  là một điểm trên cạnh  sao cho  nằm trên một đường tròn.  là giao điểm thứ hai của  với đường tròn ngoại tiếp  . Chứng minh rằng: 
(Đề thi chọn đội tuyển Hồng Kông tham dự IMO 2000, HongKong TST 2000) Hình minh họa: (hinh 4) 
Chứng minh: Xét các tứ giác nội tiếp  và  ta có:
(cùng chắn các cung tròn) Mặt khác 
Xét  và  có:
(do 
(do  )
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp ta có:
Từ  suy ra:
 (đpcm)
Có thể thấy rằng bài 1 là tư tưởng đơn giản để ta xây dựng cách giải của bài 2. Tức là dựa vào các đại lượng trong tam giác bằng nhau theo giả thiết ta sử dụng tam giác đồng dạng để suy ra các tỉ số liên quan và sử dụng phép thế để suy ra điều phải chứng minh. Cách làm này tỏ ra khá là hiệu quả và minh họa rõ ràng qua 2 ví dụ mà zaizai đã nêu ở trên. Để làm rõ hơn phương pháp chúng ta sẽ cùng nhau đến với việc chứng minh 1 định lí bằng chính Ptô-lê-mê. Bài toán 3: ( Định lí Carnot) Cho tam giác nhọn nội tiếp trong đường tròn  và ngoại tiếp đường tròn  Gọi  lần lượt là khoảng cách từ  tới các cạnh tam giác. Chứng minh rằng: 
Hình minh họa (hinh 5) 
Chứng minh: Gọi  lần lượt là trung điểm của  . Giả sử 
Tứ giác  nội tiếp, theo đẳng thức Ptô-lê-mê ta có:
Do đó: 
Tương tự ta cũng có : 
Mặt khác: 
Từ  ta có:
Đây là 1 định lí khá là quen thuộc và cách chứng minh khá đơn giản. Ứng dụng của định lí này như đã nói là dùng nhiều trong tính toán các đại lượng trong tam giác. Đối với trường hợp tam giác đó không nhọn thì cách phát biểu của định lí cũng có sư thay đổi. 2, Chứng minh các đặc tính hình học: Bài toán 1: Cho tam giác nội tiếp trong đường tròn  và  . Các đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại  cắt nhau ở . Chứng minh rằng đi qua điểm chính giữa của cung 
Hình minh họa(hinh 6) 
Chứng minh: Gọi giao điểm của với đường tròn là  . Nối  .
Xét  và  có:  chung
Tương tự ta cũng có 
Mặt khác  ( do là 2 tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau)
Nên từ 
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp  ta có:
Từ  .
Vậy ta có điều phải chứng minh. Đây có lẽ là một trong những lời giải khá là ngắn và ấn tượng của bài này.Chỉ cần qua vài quá trình tìm kiếm các cặp tam giác đồng dạng ta đã dễ dàng đi đến kết luận của bài toán. Tư tưởng ban đầu khi làm bài toán này chính là dựa vào lí thuyết trong cùng một đường tròn hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau. Do có liên quan đến các đại lượng trong tứ giác nội tiếp nên việc chứng minh rất dễ dàng. [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] Bài toán 2: Cho tam giác ABC có I là tâm đường tròn nội tiếp, O là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm G. Giả sử rằng  . Chứng minh rằng  song song với  .
Hình minh họa (hinh 7) 
Kéo dài Ta có:  . Lại có :
Do  suy ra  sđ cung 
Từ 
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp  ta có:
Từ 
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác và (5) ta có: 
Vậy 
Mặt khác G là trọng tâm của tam giác suy ra 
Từ 
Suy ra IG là đường trung bình của tam giác  hay song song với .
Đây là một bài toán khá là hay ít nhất là đối với THCS và với cách làm có vẻ "ngắn gọn" này ta đã phần nào hình dung được vẻ đẹp của các định lí. Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), CM là trung tuyến. Các tiếp tuyến tại A và B của (O) cắt nhau ở D. Chứng minh rằng: 
Hình minh họa hinh 8) 
Chứng minh: Gọi N là giao điểm của CD với (O). Xét tam giác DNB và DBC có:  chung.
Tương tự ta cũng có : 
Mà  nên từ 
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp  ta có:
Từ (3) và giả thiết 
Xét  và  có:
Vậy bài toán được chứng minh. Cơ sở để ta giải quyết các bài toán dạng này là tạo ra các tứ giác nội tiếp để áp dụng định lí sau đó sử dụng lí thuyết đồng dạng để tìm ra mối quan hệ giữa các đại lượng. Đây là một lối suy biến ngược trong hình học.
Hình minh họa: (hinh 9)
Chứng minh: Lấy điểm K trên đường thẳng BN sao cho Đây là 1 trong những bài toán khá là cổ điển của IMO Shortlist. Ta vẫn có thể giải quyết bài toán theo một hướng khác nhưng dài và phức tạp hơn đó là sử dụng bổ đề: Nếu M,N là các điểm thuộc cạnh BC của Bài toán 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Chứng minh rằng: 
Hình minh họa hinh 10)
Chứng minh: Lấy E và F thuộc đường tròn sao cho: 
Khi đó: 
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp AECD và BCDF ta có: 
Mặt khác: 
Do đó: 
Suy ra: 
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh. Bài toán 3: Cho tam giác ABC với BE, CF là các đường phân giác trong. Các tia EF, FE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác theo thứ tự tại M và N. Chứng minh rằng: 
Hình minh hoạ (hình 11) 
Chứng minh: Đặt 
Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp  và  ta có:
 Từ (1) và (2) ta được:
Mặt khác ta lại có: 
Tương tự : 
Từ (4), (5) và tính chất đường phân giác ta có: 
Chứng minh tương tự ta được: 
Từ (3), (6), (7) ta có điều phải chứng minh. Có thể dễ dàng nhận ra nét tương đồng giữa cách giải của 3 bài toán đó là vận dụng cách vẻ hình phụ tạo ra các cặp góc bằng các cặp góc cho sẵn từ đó tìm ra các biểu diễn liên quan. Một đường lối rất hay được sử dụng trong các bài toán dạng này. 4, Chứng minh bất đẳng thức và giải toán cực trị trong hình học: Bài toán 1: (Thi HSG các vùng của Mĩ, năm 1987) Cho một tứ giác nội tiếp có các cạnh liên tiếp bằng và các đường chéo bằng Chứng minh rằng:
Chứng minh: Áp dụng định lí Ptô-lê-mê cho tứ giác nội tiếp thì 
Vậy ta cần chứng minh 
Bất đẳng thức này chính là một bất đẳng thức rất quen thuộc mà có lẽ ai cũng biết đó là bất đẳng thức Bunhiacopxki-BCS. Vậy bài toán được chứng minh. Một lời giải đẹp và vô cùng gọn nhẹ cho 1 bài toán tưởng chừng như là khó. Ý tưởng ở đây là đưa bất đẳng thức cần chứng minh về 1 dạng đơn giản hơn và thuần đại số hơn. Thật thú vị là bất đẳng thức đó lại là BCS. Bài toán 2: Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện 
Chứng minh rằng: HÌNH MINH HỌA (hinh 12) 
Chứng minh: Đặt  Áp dụng định lí Ptô-lê-mê mở rộng cho tứ giác  ta có:  . Vì  nên suy ra:
Tương tự ta cũng có: 
Từ đó suy ra Bất đẳng thức đã qui về dạng chính tắc SOS : 
Dễ thấy: 
Như vậy  , đánh giá tương tự ta cũng dễ dàng thu được kết quả  .
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  .
Tức là khi ABCDEF là một lục giác đều nội tiếp. Đây là một bài toán do zaizai phát triển từ một bài toán quen thuộc. Nó cũng xuất phát từ bài Stronger than Nesbit inequality của mình. :lol: Cơ sở khi giải bài toán này là sử dụng phương pháp SOS để làm mạnh bài toán. Với bước chuyển từ việc chứng minh 1 bất đẳng thức hình học sang bất đẳng thức đại số ta dễ dàng tìm ra 1 lời giải đẹp. Nếu chuẩn hóa bất đẳng thứ này ta cũng có kết quả rất thú vị. [RIGHT][I][B]Nguồn: MathScope.ORG[/B][/I][/RIGHT] Bài toán 3: Cho lục giác lồi ABCDEF thỏa mãn điều kiện và tổng độ dài ba cạnh  bằng 
Chứng minh rằng: 
Lời giải: Ta chuyển việc chứng minh bất đẳng thức trên về chứng minh bất đẳng thức sau: 
Bằng cách sử dụng phương pháp hệ số bất định ta dễ dàng tìm được bất đẳng thức phụ đúng: 
Tương tự với các phân thức còn lại ta có điều phải chứng minh. Khi định hướng giải bài này chắc hẳn bạn sẽ liên tưởng ngay đến SOS nhưng thật sự thì nó ko cần thiết trong bài toán này bởi chỉ làm phức hóa bài toán. Dùng phương pháp hệ số bất định giúp ta tìm ra 1 lời giải ngắn và rất đẹp. Tuy nhiên lời giải này ko dễ hiểu lắm đối với THCS. Thực ra cách làm mới bài toán này cũng cực kì đơn giản vì xuất phát điểm của dạng chuẩn là bất đẳng thức Nesbit quen thuộc vì vậy dễ dàng thay đổi giả thiết để biến đổi bài toán. Mà cách thay đổi điều kiện ở đây chính là bước chuẩn hóa trong chứng minh bất đẳng thức đại số. Nói chung là dùng để đồng bậc bất đẳng thức thuần nhất. Với tư tưởng như vậy ta hoàn toàn có thể xây dựng các kết quả mạnh hơn và thú vị hơn qua một vài phương pháp như SOS, hệ số bất định, dồn biến và chuẩn hóa. Đặc biệt sau khi chuẩn hóa ta có thể dùng 3 phương pháp còn lại để chứng minh.
Lời giải: Gọi D là điểm chính giữa cung nhỏ BC. Đặt  không đổi. Theo định lí Ptô-lê-mê ta có:
Do và  ko đổi nên  lớn nhất khi và chỉ khi  lớn nhất khi và chỉ khi là điểm đối xứng của qua tâm của đường tròn.
IV, Bài tập: Bài 1 CMO 1988, Trung Quốc)  là một tứ giác nội tiếp với đường tròn ngoại tiếp có tâm ) và bán kính  . Các tia  cắt  lần lượt tại  . Chứng minh rằng:
Bài 2: Cho đường tròn và dây cung khác đường kính. Tìm điểm A thuộc cung lớn của đường tròn để  đạt giá trị lớn nhất.
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn . Đường tròn  nằm trong (O) tiếp xúc với (O) tại T thuộc cung AC (ko chứa B). Kẻ các tiếp tuyến  tới . Chứng minh rằng:
Bài 4: Cho luc giác  có các cạnh có độ dài nhỏ hơn 1. Chứng minh rằng trong ba đường chéo có ít nhất một đường chéo có độ dài nhỏ hơn  .
Bài 5: Cho hai đường tròn đồng tâm, bán kính của đường tròn này gấp đôi bán kính của đường tròn kia. là tứ giá nội tiếp đường tròn nhỏ. Các tia lần lượt cắt đường tròn lớn tại .
Chứng minh rằng: chu vi tứ giác  lớn hơn 2 lần chu vi tứ giác .
Каталог: web -> attachments attachments -> KỲ thi thử ĐẠi học năM 2014 – Cho Cún Ngày thi: 09/4/2014 MÔn thi : toán thời gian làm bài: 180 phút attachments -> MỘt số kinh nghiệm khi dạy và HỌc mạo từ A. MẠo từ không xáC ĐỊnh “A” – “AN” attachments -> Các bài trong các số Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ từ tháng 12/2005 đến nay attachments -> TRƯỜng trung học phổ thông chuyêN SỞ giáo dục và ĐÀo tạo tỉnh quảng bìNH attachments -> Định lí: Cho là trung điểm, điểm chuyển động tùy ý trên. Từ kẻ. Chứng minh rằng Chứng minh attachments -> KIỂu dữ liệu số nguyên trong ngôn ngữ LẬp trình pascal I / Loại attachments -> Ứng dụng kiểu xâu trong phép toán với số nguyên lớn I. ĐẶt vấN ĐỀ attachments -> I. so sánh bằNG: Affirmative: As + adj/adv + As Ví dụ attachments -> TRƯỜng thpt chuyên võ nguyên giáp một số phảN Ứng tổng hợp ancol – phenol – andehit – xeton – axit cacboxylic đƠn chức bằng phưƠng pháp tăNG, giảm mạch cacbon attachments -> MỘt số kinh nghiệm dạy kỹ NĂng làm bài tậP ĐỌc hiểu môn tiếng anh cho đỘi tuyển học sinh giỏI tải về 332.61 Kb. Chia sẻ với bạn bè của bạn:
|
là vector chỉ phương của 
, hay 
, ta có điều phải chứng minh
hay 
thuộc đường chéo 
có: 
. Lại có: 
và 
nên 
Suy ra 
hay 
và 
suy ra:
lấy điểm M sao cho:
nội tiếp đường tròn 
(Không chứa 
)
Trên 
lấy điểm 
. Gọi 
và 
. Chứng minh rằng: 
và 
có:
nội tiếp được đường tròn.
ta có:
(đpcm)
)
cắt 
là các điểm nằm trong 
. Chứng minh rằng:
suy ra:
, từ đó 
dẫn đến 
.
.
nội tiếp đường tròn.
ta có:
sao cho 
thì 
. Đây là một bổ đề mà các bạn cũng nên ghi nhớ.