A. ĐẠi số TỔ HỢp I. Kiến thức cơ bản quy tắc cộng



tải về 131.03 Kb.
Chuyển đổi dữ liệu07.07.2016
Kích131.03 Kb.
CHUYÊN ĐỀ: TỔ HỢP, XÁC SUẤT, SỐ PHỨC
Phần I. TỔ HỢP - XÁC SUẤT

A. ĐẠI SỐ TỔ HỢP

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Quy tắc cộng:

Có n1 cách chọn đối tượng A1.

n2 cách chọn đối tượng A2.

A1  A2 = 

 Có n1 + n2 cách chọn một trong các đối tượng A1, A2.

2. Quy tắc nhân:

Có n1 cách chọn đối tượng A1. Ứng với mỗi cách chọn A1, có n2 cách chọn đối tượng A2.

 Có n1.n2 cách chọn dãy đối tượng A1, A2.

3. Hoán vị:

 Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử gọi là một hoán vị của n phần tử.

 Số hoán vị: Pn = n!.

4. Chỉnh hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0 < k  n) và sắp thứ tự của chúng gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

 Số các chỉnh hợp:

5. Tổ hợp:

 Mỗi cách lấy ra k phần tử từ n phần tử (0  k  n) gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử.

 Số các tổ hợp:

 Hai tính chất: ,



II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN RÈN LUYỆN

DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM TRỰC TIẾP

Ví dụ 1. Hãy đếm số hình vuông trong hình sau:



Lời giải:

Cách 1:

Số hình vuông trong hình có hai loại:

Loại có cạnh 1 đơn vị và loại có cạnh 2 đơn vị.

Gọi A, B lần lượt là tập hợp các hình vuông kể trên

Ta có: N(A) = 10; N(B) = 4

Nhưng A Ç B = Æ nên số hình vuông cần tìm là:

N(A È B) = N(A) + N(B) = 10 + 4 = 14

Cách 2:

Có 10 hình vuông cạnh 1 đơn vị

Có 4 hình vuông cạnh 2 đơn vị

Vậy theo quy tắc cộng có 10 + 4 = 14 hình vuông thỏa yêu cầu bài toán.



Ví dụ 2: Nam đến cửa hàng văn phòng phẩm để mua quà tặng bạn. Trong cửa hàng có ba mặt hàng: bút, vở và thước, trong đó có 5 loại bút, 4 loại vở và 3 loại thước. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một món quà gồm một bút, một vở, 1 thước.’

Lời giải:

Số cách chọn bút: 5 cách

Số cách chọn vở: 4 cách

Số cách chọn thước: 3 cách

Theo quy tắc nhân, có: 5.4.3 = 60 cách chọn.

Ví dụ 3: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn, có ba chữ số khác nhau?

Lời giải:

Gọi số tự nhiên có ba chữ số là:

chẵn nên c Î {0, 2, 4, 6}

Trường hợp c = 0

Có 1 cách chọn c

Có 6 cách chọn a

Có 5 cách chọn b

Theo quy tắc nhân, có: 6.5.1 = 30 số.

Trường hợp c ¹ 0

Có 3 cách chọn c

Có 5 cách chọn a

Có 5 cách chọn b

Theo quy tắc nhân, có: 3.5.5 = 75 số

Vậy theo quy tắc cộng có: 30 + 75 = 105 số chẵn có ba chữ số khác nhau.



Ví dụ 4. Có một cặp vợ chông đi dự tiệc. Tính số cách chọn một người đàn ông và một người đàn bà trong bữa tiệc để phát biểu ý kiến sao cho:

a. Hai người đó là vợ chồng.

b. Hai người đó không là vọ chồng.

Lời giải:

a. Có 10 cách chọn người đàn ông.

Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có một cách chọn người đàn bà (là vợ người đàn ông đó)

Vậy theo quy tắc nhân có: 10.1 = 10 cách chọn

b. Có 10 cách chọn người đàn ông.

Ứng với mỗi cách chọn người đàn ông chỉ có 9 cách chọn người đàn bà (trừ vợ người đàn ông đã chọn)

Vậy theo quy tắc nhân có: 10.9 = 90 cách chọn.

Ví dụ 5: Cho E = {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9}. Có bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các số thuộc tập E

Lời giải:

Gọi số phải tìm là

Hành động A chọn 4 số a, b, c, d gồm hành động

A1 hay A2:

A1: Chọn d = 0 và chọn

A2: Chọn d = 2 và chọn

Số cách thực hiện A1:

Bước 1: chọn d = 0 có 1 cách

Bước 2: chọn : mỗi cách chọn là một chỉnh hợp (vì có thứ tự), 6 lấy 3 nên số cách chọn là

Vậy số cách thực hiện A1 là: 1 . = 1 . 120 = 120 cách

Số cách thực hiện A2:

Bước 1: chọn d = 2 có 1 cách

Bước 2: chọn a (a ¹ 0 và a ¹ 2) có 5 cách

Bước 3: chọn . Mỗi cách chọn là một chỉnh hợp, 5 lấy 2 (lấy 2 phần tử từ E\{2 ; a} nên có:

Vậy số cách thực hiện A2 là:

1 . 5 . = 1 . 5 . 5 . 4 = 100

Tóm lại số cách thực hiện hành động A là: 120 + 100 = 220 cách

Vậy có 220 số chẵn gồm 4 chữ số khác nhau được thành lập từ các số thuộc E



Ví dụ 6: Một tổ học sinh gồm 9 học sinh nam và 3 học sinh nữ. Giáo viên chọn 4 học sinh để đi trực thư viện. Có bao nhiêu cách chọn nếu:

a. Chọn học sinh nào cũng được?

b. Trong 4 học sinh được chọn, có đúng một học sinh nữ được chọn?

c. Trong 4 học sinh được chọn, có ít nhất một học sinh nữ được chọn?



Lời giải:

a. Mỗi cách chọn tùy ý 4 học sinh trong số 12 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 12 học sinh:

Vậy ta có: (cách chọn)

b. Vì chọn đúng 1 học sinh nữ nên cần phải chọn thêm 3 học sinh nam.

Số cách chọn học sinh nữ là:

Số cách chọn học sinh nam là:

Vậy có: (cách chọn)

c. Trường hợp 1: (1 nữ + 3 nam) có 252 cách chọn.

Trường hợp 2: (2 nữ + 2 nam)

Số cách chọn nữ:

Số cách chọn nam:

Vậy có: (cách chọn)

Trường hợp 3: (3 nữ + 1 nam)

Số cách chọn nữ:

Số cách chọn nam:

Vây có:

Vậy số cách chọn 4 học sinh trong đó có ít nhất 1 học sinh nữ là: 252 + 108 + 9 = 369 (cách chọn)

DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM GIÁN TIẾP

Ví dụ 1: Với các số 0, 1, 3, 6, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên:

a. Có 4 chữ số khác nhau.

b. Số lẻ với 4 chữ số khác nhau.

c. Số chẵn có 4 chữ số khác nhau.

d. Có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 3.

Lời giải:

a. Có số có 4 chữ số khác nhau từ tập các chữ số {0, 1, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ số )

số có 4 chữ số bắt đầu bởi số 0.

Vậy có 120 – 24 = 96 số có 4 chữ số khác nhau.

b. Gọi số có 4 chữ số là . Vì là số lẻ nên:

Chữ số d có 3 cách chọn (1, 3, 9)

Chữ số a có 3 cách chọn.

Chữ số b có 3 cách chọn.

Chữ số c có 2 cách chọn.

Vậy có 3 . 3 . 3 . 2 = 54 số lẻ.

c. Có 96 – 54 = 42 số chẵn.

d. Một số chia hết cho 3 khi và chỉ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3.

Trong tập hợp {0, 1, 3, 6, 9} có duy nhất 1 số không chia hết cho 3.

Vậy số đo chia hết cho 3 khi và chỉ khi các chữ số của nó thuộc tập {0, 3, 6, 9}.

Có 4! số có 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} (có thể bắt đầu với chữ số 0)

Có 3! số có 4 chữ số khác nhau từ {0, 3, 6, 9} bắt đầu với chữ số 0.

Vậy kết quả là: 4! – 3! = 24 – 6 = 18 số

Ví dụ 2:Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 6 người khách ngồi quanh một bàn tròn? (Hai cách xếp được xem là như nhau nếu cách này nhận được từ cách kia bằng cách xoay bàn đi một góc nào đó).

Lời giải:

Có 5! = 120 cách

Có (n – 1)! Cách xếp n (n ³ 2) người quanh một bàn tròn. Để xếp n + 1 người quanh bàn tròn ta xếp n người đầu tiên rồi xếp người cuối cùng vào 1 trong n khoảng trống giữa n người.

Vậy có (n – 1)!n = n! cách xếp n + 1 người ngồi quanh một bàn tròn.



Ví dụ 3. Cho tập , từ A có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có chữ số 0 và 3.

Lời giải

Gọi số cần tìm là

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 không xét đến vị trí a.

Xếp 0 và 3 vào 5 vị trí có: cách

3 vị trí còn lại có cách

Suy ra có số

Tìm số các số có 5 chữ số khác nhau mà có mặt 0 và 3 với a = 0.

Xếp 3 có 4 cách

3 vị trí còn lại có cách

Suy ra có số

Vậy số các số cần tìm tmycbt là: = 384

Ví dụ 4. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số luôn luôn có mặt hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ.

Lời giải

Từ giả thiết bài toán ta thấy có cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số 0 đứng đầu) và =10 cách chọn 2 chữ số lẽ => có . = 100 bộ 5 số được chọn.

Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập => có tất cả ..5! = 12000 số.

Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là .

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn bài toán.

Ví dụ 5. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học sinh.

Lời giải

Tổng số cách chọn 6 học sinh trong 12 học sinh là

Số học sinh được chọn phải thuộc ít nhất 2 khối

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 11 là:

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 11 và khối 10 là:

Số cách chọn chỉ có học sinh khối 12 và khối 10 là:

Số cách chọn thoả mãn đề bài là: (cách)

Ví dụ 6. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439.

Lời giải

Nếu n £ 2 thì n + 6 £ 8. Do đó số tam giác có ba đỉnh được lấy từ n + 6 điểm đó không vượt qua (loại). Vậy n ³ 3

Vì mỗi tam giác được tạo thành ứng với 1 tổ hợp 3 chập n + 6 phần tử. Nhưng trên cạnh CD có 3 đỉnh, trên cạnh DA có n đỉnh nên số tam giác tạo thành là:

Û (n + 4)(n + 5)(n + 6) – (n – 2)(n – 1)n = 2540

Û n2 + 4n – 140 = 0

Từ đó tìm được n = 10.



III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác nhau mà mỗi số đều lớn hơn 2015.

2) Cho hai đường thẳng song song d1 và d2. Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.

3) Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Người ta cần chọn ra 5 em xếp thành một hàng ngang để nhận giải thưởng, yêu cầu phải có cả 3 em nữ trong hàng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp ?

4) Thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dể. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập nên bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong đề phải có đủ ba loại câu hỏi (khó, dể, trung bình) và số câu dễ không ít hơn 2 ?

5) Có 4 nhà Toán học nam, 2 nhà Toán học nữ, 3 nhà Vật lý học nam và 3 nhà Vật lý học nữ. Có bao nhiêu cách lật một đoàn dự hội nghị gồm 2 nam và 2 nữ, có cả Toán lẫn Lý ?

6) Chứng minh rằng:

a/ ; b/ ;

c/ .

7) Giải phương trình

a/ ; b/ ; c/ .

8) Giải bất phương trình .



IV. BÀI TOÁN LẤY RA TỪ ĐỀ THI CÁC NĂM TRƯỚC

Bài 1 (B-2002): Cho đa giác đều , (, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm . Tìm n.

Bài 2(B-2004): Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?

Bài 3(B-2005): Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?

Bài 4(D-2006): Một đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy ?

B. NHỊ THỨC NEWTƠN

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Số hạng tổng quát (Số hạng thứ k + 1):

 Đặc biệt:

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN RÈN LUYỆN

Dạng 1: Khai triển nhị thức NewTơn

Dạng 2: Tìm số hạng (hệ số của số hạng) trong khai triển.

Dạng 3: Vận dụng khai triển nhị thức NewTơn để chứng minh đẳng thức, rút gọn biểu thức

Ví dụ 1: Viết khai triển

a/ ; b/ ;

c/ ; d/ .

Ví dụ 2: Tìm hệ số của trong khai triển .

Ví dụ 3: a/ Tìm hệ số của trong khai triển .

b/ Tìm hệ số của trong khai triển .

c/ Khai triển thành đa thức.

d/ Trong khai triển của , hãy tính hệ số của .

e/ Hãy xác định số hạng chứa trong khai triển .



Ví dụ 3. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức , biết rằng

Lời giải

Giải phương trình ; Điều kiện: n ≥ 2 ; n Î N.

Phương trình tương đương với Û

Û n2 – 11n – 12 = 0 Û n = - 1 (Loại) v n = 12.

Với n = 12 ta có nhị thức Niutơn: .

Số hạng thứ k + 1 trong khai triển là: Tk +1 = ; k Î N, 0 ≤ k ≤ 12

Hay Tk+ 1 = = .

Số hạng này không chứa x khi .

Vậy số hạng thứ 9 không chứa x là T9 =

Ví dụ 4. Tìm hệ số của x8 trong khai triển (x2 + 2)n, biết: .

Lời giải

Điều kiện n ³ 4

Ta có

Hệ số của số hạng chứa x8

Hệ số của số hạng chứa x8

Ta có:

Û (n – 2)(n – 1)n – 4(n – 1)n + n = 49

Û n3 – 7n2 + 7n – 49 = 0 Û (n – 7)(n2 + 7) = 0 Û n = 7

Nên hệ số của x8

Ví dụ 5 (ĐH). Cho khai triển đa thức:

Tính tổng:



Lời giải

Ta có:



(*).

Nhận thấy: do đó thay vào cả hai vế của (*) ta có:



Ví dụ 6 (ĐH). Cho khai triển: . Hãy tìm giá trị của .

Lời giải

Ta có nên



Trong khai triển hệ số của là: ; Trong khai triển hệ số của là:

Trong khai triển hệ số của là:

Vậy hệ số



Ví dụ 7 (ĐH). Tính giá trị biểu thức: .

Lời giải

Ta có: (1)



(2)

Lấy (1)+(2) ta được:

Lấy đạo hàm hai vế theo ẩn x ta được:

Thay x=1 vào =>



III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển với x > 0.

2) Tính tổng:

3) Tính tổng .



IV. BÀI TOÁN LẤY RA TỪ ĐỀ THI CÁC NĂM TRƯỚC

Bài 1 (A-2002): Cho khai triển nhị thức:

, (n nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng 20n. Tìm n và x.

Bài 2 (D-2002): Tìm số nguyên dương n sao cho:

Bài 3(A-2003): Tìm số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niutơn của

, biết rằng .

Bài 4(B-2003): Cho n là số nguyên dương, tính tổng:

S= (Đs: )



Bài 5(D-2003): Với n nguyên dương, gọi a3n – 3 là hệ số của x3n – 3 trong khai triển thành đa thức của . Tìm n để a3n – 3 = 26n (Đs: n = 5)

Bài 6(A-2004): Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của:

Bài 7(D-2004): Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn của , với x > 0.

Bài 8(A-2005): Tìm số nguyên dương n sao cho:



Bài 9(D-2005): Tính giá trị của biểu thức: , biết rằng:



Bài 10(A-2006): Tìm hệ số của số hạng chứa x26 trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết: .

Bài 11(B-2006): Cho tập hợp A gồm n phần tử . Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồn 2 phần tử của A. Tìm sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.

Bài 12(A-2007): CMR , (với )

Bài 13(B-2007): Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển nhị thức Niutơn của , biết: .

Bài 14(D-2007): Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của:

Bài 15(A-2008): Cho khai triển: , trong đó và các hệ số thỏa mãn . Tìm số lớn nhất trong các số .

Bài 16(B-2008): CMR

Bài 17(D-2008): Tìm số nguyên dương n sao cho:

Bài 18(A-2012): Cho n là số nguyên dương thỏa mãn: . Tìm số hạng chứa x5 trong khai triển nhị thức Niu-tơn của , với .

Bài 19(D-2014)Cho một đa giác đều n đỉnh, . Tìm n biết rằng đa giác đã cho có 27 đường chéo.

C. XÁC SUẤT

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1/ PHÉP THỬ, KHÔNG GIAN MẪU

a) Phép thử

Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước được kết quả của nó, mặc dù đã biết tập hợp tất cả các kết quả có thể của phép thử đó.



b) Không gian mẫu

Tập hợp các kết quả có thể xảy ra của một phép thử được gọi là không gian mẫu của phép thử và kí hiệu là



2/ BIẾN CỐ

Biến cố là một tập con của không gian mẫu

Tập Æ được gọi là biến cố không thể . Còn tập được gọi là biến cố chắc chắn.

3/ PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ

- Tập \A được gọi là biến cố đối của biến cố A, kí hiệu là



- Tập AÈB được gọi là hợp của các biến cố A và B.

- Tập AÇB được gọi là giao của các biến cố A và B.

- Nếu A ÇB=Æ thì ta nói A và B xung khắc.



Chú ý

- AÈB xảy ra khi và chỉ khi A xảy ra hoặc B xảy ra .

- AÇB xảy ra khi và chỉ khi A và B đồng thời xảy ra . Biến cố AÇB còn được kí hiệu A.B

- A và B xung khắc khi và chỉ khi chúng không khi nào cùng xảy ra.

4/ ĐỊNH NGHĨA CỔ ĐIỂN CỦA XÁC SUẤT

Giả sử A biến cố liên quan đến một phép thử chỉ có một số hữu hạn kết quả đồng khả năng xuất hiện. Ta gọi tỉ số là xác suất của biến cố A, kí hiệu là P(A)

Vậy

Chú ý: n(A) là số phần tử của A; n() là số các kết quả có thể xảy ra của phép thử.

Nhận xét: 0 £P(A)£1, với mọi biến cố A ( P(Æ) =0, P()=1)

5/ CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT

a) Công thức cộng: Nếu A và B xung khắc P( A È B ) = P(A)+P(B)

Đặc biệt: Với mọi biến cố A, ta có

b) Công thức nhân: A và B là hai biến cố độc lập P(AB)=P(A).P(B)


II. CÁC DẠNG BÀI TẬP CẦN RÈN LUYỆN

Dạng 1: Tính xác suất bằng định nghĩa

Dạng 2: Tính xác suất sử dụng biến cố đối

Dạng 3: Tính xác suất sử dụng công thức cộng và nhân xác suất

Ví dụ 1. Một hộp chứa quả cầu màu đỏ, quả cầu màu xanh và quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu là .

Gọi là biến cố “ 4 quả lấy được có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng”. Ta xét ba khả năng sau:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 3 quả xanh là:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 2 quả xanh, 1 quả vàng là:

- Số cách lấy 1 quả đỏ, 1 quả xanh, 2 quả vàng là: hoctoancapba.com

Khi đó .

Xác suất của biến cố .



Ví dụ 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ tú lơ khơ. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ (ví dụ 3 con K).

Lời giải

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ là:

Số cách chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: 13.

Xác suất để chọn 5 quân bài trong bộ bài tú lơ khơ mà trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân bài thuộc 1 bộ là: = .



Ví dụ 3. Cho E là tập các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số: 0,1,2,3,4,5,6,7. Lấy ngẫu nhiên một số trong E. Tính xác suất để lấy được số chia hết cho 5.

Lời giải

Giả sử

Chọn

Số chia hết cho 5. Gọi A là biến cố chọn dc số chia hết cho 5 thì n(A)=1560





Ví dụ 4. Cho tập . Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5.

Lời giải

Số các số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E là:

Trong đó số các số không có mặt chữ số 5 là 4.3.2=24, và số các số có mặt chữ số 5 là .

Gọi A là biến cố “hai số được viết lên bảng đều có mặt chữ số 5”, B là biến cố “hai số viết lên bảng đều không có mặt chữ số 5”. Rõ ràng A,B xung khắc. Do đó áp dụng qui tắc cộng xác suất ta có:



.

Suy ra xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5 là .



Ví dụ 5. Trong một kì thi. Thí sinh được phép thi 3 lần. Xác suất lần đầu vượt qua kì thi là 0,9. Nếu trượt lần đầu thì xác suất vượt qua kì thi lần hai là 0,7. Nếu trượt cả hai lần thì xác suất vượt qua kì thi ở lần thứ ba là 0,3. Tính xác suất để thí sinh thi đậu.

Lời giải

Gọi Ai là biến cố thí sinh thi đậu lần thứ i (i = 1;2;3). Gọi B là biến cố để thí sinh thi đậu.

Ta có:

Suy ra:

Trong đó:

Vậy:



III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

1) Từ các chữ số của tập , người ta ghi ngẫu nhiên hai số tự nhiên có ba chữ số khác nhau lên hai tấm thẻ. Tính xác suất để hai số ghi trên hai tấm thẻ đó có ít nhất

một số chia hết cho 5.

2) Có 10 học sinh lớp A; 9 học sinh lớp B và 8 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ các học sinh trên. Tính xác suất sao cho lớp nào cũng có học sinh được chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp A.

3) Một hộp đựng 11 viên bi được đánh số từ 1 đến 11. Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi rồi cộng các số trên viên bi lại với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là một số lẻ.

4) Một chiếc hộp đứng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu.



IV. BÀI TOÁN LẤY RA TỪ ĐỀ THI CÁC NĂM TRƯỚC

Bài 1(B-2012): Trong một lớp gồm 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng ghi bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.

Bài 2(A-2013): Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

Bài 3(B-2013): Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.

Bài 4(A-2014) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 thẻ. Tính xác xuất để 4 thẻ được chọn đều được đánh số chẵn.

Bài 5(B-2014) Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đến bộ phận kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và ba 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn có cả 3 loại.

Bài 6(2015) Trong đợt ứng phó dịch MES-CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên 3 đội phòng chống dịch cơ động trong số 5 đội của Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội của các Trung tâm y tế cơ sở để kiểm tra công tác chuẩn bị . Tính xác suất để có ít nhất 2 đội của các trung tâm y tế cơ sở được chọn.

ĐS :


Cơ sở dữ liệu được bảo vệ bởi bản quyền ©hocday.com 2016
được sử dụng cho việc quản lý

    Quê hương